エピサイクロイド
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として、媒介変数表示：
，
で表される曲線をエピサイクロイドと言う。
として、半径
の円
に外接したまま、半径bの円
が滑ることなく回転していくときに、
の周上の動点Pが描く曲線がエピサイクロイドです。
円
の中心が原点Oで、円
の中心が最初に右図の点B
にあって点C
で円
に接しており、
の周上の動点Pが最初に右図の点A
にあるとします。
が
と外接しながら回転し、
の中心Qが右図のように、
となるような位置まで来たとします。このときに、最初に点Cで
に接していた
上の点は右図の点R (
と
の接点、すなわち、線分OQと
との交点をTとして、
となる点)まで来ます。動点Pは、線分PRが円
の直径であるように動くので、右図のように、
となる位置まで来ます。
このとき、
と
がつねに接するように動くので、弧
と弧
の長さは等しくなります。
，
より、
∴ 
が
のまわりを1周したときに、動点Pがちょうどn周して点Aに戻ってくるものとする(これはエピサイクロイドの必要条件ではありません)と、
が、
のときに、
が
のn倍 (
)になります。よって、
∴ 
，
･･･①
さて、右図において、
の中心Qは、半径aの円周上をx軸から角θ だけ回った位置にあるので、
動点Pは、①より、半径
の円
の周上を右図で
から角
だけ回った位置にあるので、
∴ 
これより、点Pのx座標、y座標について、
，
という媒介変数表示が得られます。
のときは、Pの軌跡は円周
です。
のときは、媒介変数表示は、
，
となりますが、これはカージオイドです。
図示すると、右図のようになります。
のときは、媒介変数表示は、
，
図示すると、右図のようになります。
のときは、媒介変数表示は、
，
図示すると、右図のようになります。
のときは、媒介変数表示は、
，
図示すると、右図のようになります。
上記のエピサイクロイドの曲線の長さを求めてみます。
上にに示すように、エピサイクロイドは花びらが円周のまわりを取り囲むような形をしています。
動点Pが
の周上に来るのは、
とおくと、
kを整数として、
，つまり、
のとき。
従って、花びら1枚分に相当するθ の範囲は、
であって、
枚の花びらができます。
，
(
)
求める曲線の長さは、
(不定積分の公式を参照)
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