推定 関連問題
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母集団に関する情報が得られていない状況で、標本を調べて母平均や母比率を推定したいときがあります。
まず、母平均を推定します。仮に、母平均がm，母標準偏差がσだとします。母集団から大きさnの標本を無作為に抽出すると、nが充分に大きいとき、標本平均
は、近似的に正規分布
に従います。
とおくと、Zは近似的に標準正規分布
に従います。(正規分布を参照)
母集団から、どのような要素を選んで標本とするかによって、標本平均
の値は違ってきますが、
となる確率が95%となる
の範囲を求めてみます。平均以上になる確率が
より、正規分布表で値が0.475になっているところを探すと、
です。
とすると、
となります。これより、平均以下になる範囲も含めて、
が、
･･･①
から母平均mの範囲はこれくらいだろうと推定すると、①を書き換えて、mが
･･･②
と表します。mが②の範囲にある確率が95%というのでは、5%の確率で母平均の推定値が②の範囲外になることもあり得るので、信頼度99%にしたい、ということであれば、平均以上となる確率が
より、正規分布表で値が0.495になっているところ探すと、
なので、②と同様にして、母平均mに対する信頼度99%の信頼区間は、
となります。②の範囲の両端にはσが含まれていますが、標本だけがわかっていて母集団に関する情報がないとき、σもまた未知です。このとき、標本の大きさnが充分に大きければ、母標準偏差σの代わりに、標本標準偏差を用いてもよいことが知られています。
母平均推定の信頼度95%の信頼区間②の区間幅wは、
これは、母標準偏差と標本の大きさのみで決まります。標本の要素や標本平均には依存しません。また、信頼区間の幅を
にしたければ
を2倍、つまり標本の大きさnを4倍にすればよいことがわかります。
母比率の推定を考えます。大きさNの母集団の中で、ある性質Aを有する要素の数を
とするとき、
を性質Aの母比率と言います。母集団から大きさnの標本を抽出するとき、性質Aを有する要素の個数Xは、二項分布
に従います。大きさnが充分に大きいとき、確率変数Xは、近似的に正規分布
に従います(正規分布を参照)。つまり、
，
です。標本比率
は、
，
となる(母集団と標本を参照)ので、正規分布
に従う確率変数です。確率変数
は、標準正規分布
に従うので、
となる確率が95%となるRの範囲を求めると、
より、
として、
，これより、平均以下になる範囲も含めて、Rが、
･･･③
･･･④
と表されます。ここで、少々問題になるのは、この信頼区間の表示の中に文字pが含まれていることで、今推定しているはずのpを、推定しているpの信頼区間の表示に含めるのは無理です。実は、標本の大きさnが充分に大きければ、標本比率の分散
の中に出てくる母比率pを標本比率Rで置き換えてもよいことが知られています。こうして、大きさnの標本から推定される母比率の95%の信頼区間は、
となります。同様に、母比率に対する99%の信頼区間は、
母集団と標本の最初に書いた世論調査ですが、標本の大きさ1000人の世論調査は有効かということを考えてみます。
例えば、1000人に対して調査を行ったとき、ある政党の支持率が15% (1000人中150人が支持)だとします。
，
とすると、
1000人の調査で、政党支持率の95%の信頼区間は、
，
より、12.8%以上17.2%以下ということになります。母平均の推定と同様に、信頼区間の幅を狭めるためには、標本の大きさを大きくすればよく、信頼区間の幅を
にするためには標本の大きさを4倍にすればよいことがわかります。
母標準偏差σの母集団から大きさnの標本を抽出して標本平均を
とすると、nが充分に大きければ、母平均mに対する95%の信頼区間は(母標準偏差σは、標本平均の標準偏差
で置き換えてもよい)、
母集団から大きさnの標本を抽出して、標本比率をRとすると、母比率pに対する95%の信頼区間は、
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