指数法則の拡張 関連問題
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m，nを自然数、aを実数として、
，
が成立します(指数法則参照)。
指数法則：
において、
としてみると、
となりますが、
を成り立たせるためには、
とすればよいことがわかります。
nを負の整数として、
とすると、
となるので、
と考えればよいことがわかります。
l，mを自然数として、
とします。
ここで、
はaをm回かけたもの、
はaをl回かけたものなので、
なら、
，
なら、
，
なら、
であり、いずれにしても、mを正の整数、nの負の整数としても、
が成り立ちます。
mが負の整数、nが正の整数の場合にも、
m，nがともに負の整数で、k，lを正の整数として、
，
のときも、
また、l，mを正の整数、nを負の整数で
だとして、
l，nを正の整数、mを負の整数で
だとして、
m，nがともに負の整数で、k，lを正の整数だとして、
，
のときも、
m，nのいずれか一方が0、あるいは、ともに0の場合にも、
，
が成り立ちます。
以上より、指数法則：
，
は、m，nが整数の場合について(負の整数であっても、0であってもよい)成り立ちます。
以下、
だとします。
指数法則：
において、mが有理数であるとして、
(lは整数、nは自然数)としてみます。
を成り立たせるためには、
のn乗が
なので、
は
のn乗根であればよいことになります。
このとき、
を、
のn乗根で、nが偶数の場合には正の方だとして、
だと約束します(累乗根を参照)。
指数が有理数になる場合、有理数を分数で表して、(有理数)乗は、(分子)乗の(分母)乗根、ということになります。
が成り立つので、
nを自然数、l，mを整数だとして、
従って、
は、
のn乗根で、
･･･① が成り立ちます。
q，sを自然数、p，rを整数だとして、
①より、
∴ 
･･･②
mを自然数、l，nを整数だとして、
と
は、ともにm乗してみると、
∴ 
･･･③ が成り立ちます。
m，nを自然数だとして、
は
乗すると、
となるので、aの
乗根です。つまり、
･･･④ が成り立ちます。
(∵ ③)
(∵ ④)
･･･⑤
，
は、m，nが有理数の場合にも成立します。
実は、指数法則は、指数が実数、虚数の場合にも成立することがわかっています。
指数が円周率πのような無理数の場合、
，
，
，
，
，･･･，のように、各項が有理数であって、
となるような数列
を考え、正の数bに対して、
として、
を考えます。
指数がπ以外の無理数aの場合も同様にして、正の数bに対して、
を考えます。
指数法則：
，
(
，m，nは実数)
以上により、自然数に限られていた指数を実数全体に拡張することにします。
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