中央大理工数学'08年[3]
鋭角三角形ABCの外接円Sの中心(外心)をOとし、Sの半径をRとする。円Sの弧
，
，
と直線BC，CA，ABに関して対称な円弧をそれぞれ
，
，
とする。このとき、3つの弧
，
，
は三角形ABCの垂心で交わる。このことを次のようにして示せ。
三角形ABCの外心Oと直線BC，CA，ABに関して対称な点をそれぞれ
，
，
とする。また、
，
，
とし、Hを
により定まる点とする。
(2) 
を
と
で表し、三角形
は三角形ABCと合同であることを示せ。 (3) 
，
，
を
，
，
を用いて表し、3つの弧
，
，
は点Hで交わることを示せ。
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解答 誘導がなければ難問ですが、親切な誘導がついているので軽快に解いてゆけると思います。
(1) 辺BC，CA，ABの中点をK，M，Nとします。
Oと
はBCに関して対称，Oと
はCAに関して対称，Oと
はABに関して対称なので、
(2) 
......[答] これより、
です。同様に、 よって、三角形
と三角形ABCは、3辺が等しく、合同です。
(3) 
よって、
より、
です。
ということは、H，B，Cは
を中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧
上の点です。･･･①
同様にして、 よって、
であって、H，C，Aは
を中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧
上の点です。･･･② よって、
であって、H，A，Bは
を中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧
上の点です。･･･③
三角形ABCは鋭角三角形なので、①，②，③より、3つの弧
，
，
は点Hで交わります。
(4) 
......[答] ∴ 
∴ 
∴ 
以上より、Hは三角形ABCの垂心です。
追記．よく知られた事実ですが、外心に原点があるとして、三角形ABCの重心Gの位置ベクトルは、
となり、垂心Hの位置ベクトルが、
であるということは、重心Gは、外心Oと垂心Hを結ぶ線分OHを1：2に内分する点だということです。
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，
，
を
，
，
を用いて表せ。
を
，
，
を用いて表し、点Hは三角形ABCの垂心であることを示せ。
，
，
......[答]
，
，
......[答]
，
