群馬大医数学'08年[5]
次の問いに答えよ。
(1) αを実数とし、
，
とおく。このとき、
を証明せよ。 (2) 
を用いて、
を示せ。
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解答 (1) 証明すべき式の左辺を、
と
の相加平均と見ても厳しいものがありそうです。そこで、証明すべき式を変形します。 さらに、
と
1つを移項して、 こうした変形はよく行われるものです。
さて、ここで、
，
を代入すると、 となって、左辺と右辺が同じ形になります。題意は、
とするとき、 
･･･①を証明せよと言っていることがわかります。
の
における接線は
で、 であることを思い浮かべましょう。
でかつ
となるようなα，例えば、
を満たすαをもってきます。
なので、
が単調増加であることを示せれば、①が言えます。αをすべての実数で考えると
の符号がコロコロ変わるので面倒です。そこで、
の場合とそれ以外の場合を分けて考えることにします。
が大きくなると、
と
(
)との差が大きくなって、不等式を示しやすくなるはずです。
(i) 
のとき、
より、 また、
よって、
･･･② (ii) 
において、関数
を考えます。 より、
は、
において単調増加な関数です。
よって、
∴ 
従って、
であれば、
です。
が単調増加であることから、
つまり、 
･･･③∴ 
よって、
のとき、 ∴ 
(等号は
のとき) (i)，(ii)より、すべての実数αについて、
，
とおくとき、 
(等号は
のとき)(証明終)
(2) 
がある数値より大きいことを言いたいので、(1)の不等式の左辺に
が出てくるようにして、 ∴ 
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(等号は、
，つまり、
のとき)
のとき、
，
より、
，
のとき、
，
として、
，③より、
，
，
，
より、
，
(
)としてみます。