茨城大理数学'08年[4]
次の条件をみたす自然数の組
を考える。
このような組
に対して2次方程式
の解の虚部の絶対値を
とおく。ただし、複素数
(α，β は実数、iは虚数単位)の虚部とは、実数β のことである。次の各問いに答えよ。
(1) 
と
の大小を比較せよ。 (2) 
が最大となる組
を求めよ。 (3) 
が整数となる組
のうちで、
が最大となるものをすべて求めよ。
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解答 整数問題の基本は「シラミつぶし」です。工業製品や農産物の中に不良品が混入して、どれが良品でどれが不良品か見分けがつかないときは、全数チェックが必要になります。全部調べるうちから合理的な手法が出てくるのであって、最初から「うまく切り抜けよう」と思わないことが大切です。
特に、センター試験の整数問題では、全数チェックで解決することが多いので、注意してください。
2次方程式：
の解は、
です。
のときには、
となります。これより、
(1) 
，
，
より、
，
，
，
∴ 
(等号は、
，
のときのみ成立)∴ 
......[答] (等号は、
，
のときのみ成立)
(2) 
根号内は
の2次関数で、
が軸位置18に近いほど大きくなります。よって、
は、
が最大、つまり、aが最小のとき、最大値をとります。(1)の結果と合わせて、 
が最大となる組
......[答]
(3) 
とおきます。題意よりkは整数です。整数問題では、「(整数A)＝(整数B)×(整数C)」の形を作るとうまく行くことがあります。B，CはAの約数に限られるので、全数チェックする範囲を絞ることができます。 2乗して、
∴ 
･･･①
ここで、
，
は
の約数です。4の倍数
が、
，
，･･･，
の約数になるので、bは少なくとも偶数です。また、
，
より、
です。
，
なので、
に限られます。
を最大とする
の組を求めるので、まず、
の場合から調べます。①で
として、 (i) 
のとき、 
は平方数になるので、
に限られます。(ii) 
のとき、 右辺を見ると、
なので、
に限られますが、このとき、
は平方数ではなく、①をみたす
の組はありません。 (i)，(ii)より、
が最大となる組
......[答]
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，
，
，
，
より、
に限られます。
のとき
，
のとき
