茨城大理数学'08年[4]
次の条件をみたす自然数の組
を考える。
このような組
に対して2次方程式
の解の虚部の絶対値を
とおく。ただし、複素数
(α,β は実数、iは虚数単位)の虚部とは、実数β のことである。次の各問いに答えよ。
(1)
と
の大小を比較せよ。 (2)
が最大となる組
を求めよ。 (3)
が整数となる組
のうちで、
が最大となるものをすべて求めよ。
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解答 整数問題の基本は「シラミつぶし」です。工業製品や農産物の中に不良品が混入して、どれが良品でどれが不良品か見分けがつかないときは、全数チェックが必要になります。全部調べるうちから合理的な手法が出てくるのであって、最初から「うまく切り抜けよう」と思わないことが大切です。
特に、センター試験の整数問題では、全数チェックで解決することが多いので、注意してください。
2次方程式:
の解は、
です。
のときには、
となります。これより、
(1) 
,
,
より、
,
,
,
∴
(等号は、
,
のときのみ成立)∴
......[答] (等号は、
,
のときのみ成立)
(2) 
根号内は
の2次関数で、
が軸位置18に近いほど大きくなります。よって、
は、
が最大、つまり、aが最小のとき、最大値をとります。(1)の結果と合わせて、
が最大となる組
......[答]
(3)
とおきます。題意よりkは整数です。整数問題では、「(整数A)=(整数B)×(整数C)」の形を作るとうまく行くことがあります。B,CはAの約数に限られるので、全数チェックする範囲を絞ることができます。 2乗して、
∴
・・・@
ここで、
,
は
の約数です。4の倍数
が、
,
,・・・,
の約数になるので、bは少なくとも偶数です。また、
,
より、
です。
,
なので、
に限られます。
を最大とする
の組を求めるので、まず、
の場合から調べます。@で
として、 (i)
のとき、
は平方数になるので、
に限られます。(ii)
のとき、 右辺を見ると、
なので、
に限られますが、このとき、
は平方数ではなく、@をみたす
の組はありません。 (i),(ii)より、
が最大となる組
......[答]
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