長崎大工数学'08年[3]
，
である相似な直角三角形
(
)が、次のような規則で座標平面上に並べられている。
規則1) 三角形どうしが、辺以外で重なることはない。
規則2) 頂点
は座標平面上の原点
と一致し、
は点
と一致している。また、
は第1象限にある。 規則3) mを自然数とするとき、三角形
と三角形
において、
は
と一致し、
は
と一致している。 さらに、三角形
と三角形
において、頂点
は
と一致し、
は
と一致している。 次の問いに答えよ。
(1) 
の座標を、θ を用いて表せ。 (3) 
および
を求めよ。
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解答 ややこしくできている問題なので、丁寧に規則性を探していきます。規則1)～3)に沿って三角形
，三角形
，三角形
，三角形
を図示していくと、右図のようになります。とりあえず、(1)の
の座標を求めますが、(2)では
を聞いているので、
，
，
がどんな規則に並ぶのかを考えることになります。
規則3)より、三角形
と三角形
において、
，
と三角形
において、
三角形
と三角形
において、
これより、
，
// 
同様に、
// 
などとなっていくでしょう。また、
，
となっています。同様にすれば、
，
規則性がある程度見えてきたら、答案では、規則性を示すところだけを取り上げるようにします。
，
，･･･ と調べて行ってもよいのですが、
，
，･･･ とする方が扱いやすいので、規則1)～3)に沿って、三角形
の方へさかのぼることにします。また、三角形
～三角形
を考えます。答案をまとめるときには、ベクトルを使うのがよいと思います。
(1) 右上の図より、
(
) 
は、x軸方向から正方向に
回った方向を向くベクトルなので、
の座標は、
......[答]
(2) 題意は、
として直角三角形
を定義しているのですが、規則1)～3)を用いて、直角三角形
，直角三角形
，･･･ を考えると、規則3)で
として、 となることがわかります。
これより、
は原点Oに一致し、
は
に一致します。 
･･･①
点
と点
の関係を調べるために、右図(三角形
～三角形
)を考えます。規則3)より、mを0以上の整数として、となっています。
，
従って錯角が等しく、
// 
･･･②
これと①より、
はx軸に平行です。また、 
･･･③より、
これと②より、
･･･④∴ 
(∵ ①)これを③に代入すると、
より、 
はx軸に平行なので、
はx軸から正方向に
回った方向を向くベクトルであって、
(
とすれば(1)の解答です) ･･･⑤④，⑤より、
として、
，
......[答]
(3) (2)の結果において、
とすると、
より、
なので、
，
，
......[答] (等比数列の極限を参照)
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(
)の座標
を、θ を用いて表せ。
，
(
)
(
)，
，
(
)，
(
)，
，
，
(
)，
(
)，
，
