長崎大医数学'08年[3]
1辺の長さ
の正方形の折り紙がある。正方形ABCDの中心を点Oとし、AO上に点Eをとり、
とする。図1の斜線部を取り去り、OB，OEに沿って折り、OCとODを貼り合わせ、図2のように三角錐O-BCEを作って平面に置いた。Oより三角形BCEに下ろした垂線と三角形BCEとの交点をHとするとき、次の問いに答えよ。
(2) 三角形BCEの外心を点Pとする。
のときの
の長さをaを用いて表せ。
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解答 空間ベクトルの計算問題です。(2)は、平面ベクトルの問題として考え、三角形BCEが
である二等辺三角形であることから、１次独立なベクトルとして、
と
を選ぶことにします。また、BCの中点をMとして、外心PがEM上にあることを利用します。
(1) 
，
です。 また、
で、OCとODを貼り合わせるので、 
･･･①
とおくと、Hは、三角形BCEが乗っている平面上の点なので、OHは、三角形BCEと垂直なので、
かつ 
よって、
です。①を用いると、 ∴ 
∴ 
②より、
(2) (1)より、
･･･③
より、三角形BCEは二等辺三角形で、外心Pは、BCの中点をMとして、EM上に来ます。
･･･④①より、
･･･⑤これを用いて、
･･･⑥とおくと、
･･･⑦④を用いて、
Pが外心であることから、
，⑦を用いて、 ∴ 
∴ 
③，④より、 
と⑥より、分母を払って2乗すると、
整理して、
より、
∴ 
∴ 
......[答]
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を
，
，
を用いて表せ。
，
......[答]
(∵ ⑤)
：
= 
：
= 2：1