大分大医数学'08年[2]
a，bは
をみたす定数とする。x，yが
，
，
をみたしながら変化するとき、
のとり得る値の範囲を求めよ。
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解答 2変数関数が、ある条件のもとにどういう変化をするか調べる問題です。
･･･①
のとき
のとき
のとき
より
です。
として、陰関数の微分法によりxで微分すると
∴ 
，
より、
従って、xが0から1まで増加するとyは1から0まで減少します。
とおきます。
①の関係を前提として、
において、zをxで微分すると、
･･･②(この微分は、①より
，これを代入した
の微分になっています) 
より、
とすると、
∴ 
･･･③
①に代入すると、
∴ 
このとき、③より、
，
のとき、
，
のとき、
xが0から1まで増加すると、yは1から0まで減少するので、②の
は減少し、
においては
，
においては
です。
以上より、次の増減表が得られます(関数の増減を参照)。
より、
のとりうる範囲は、
......[答]
追記．大分大医学部、旧大分医大時代の'94年[3]で、
a，b，cを正の定数とする。
(1) 2つの正数x，yが
を満たすとき、不等式
が成り立つことを示せ。また、等号が成立するx，yの値を求めよ。 (2) Oを原点とするxyz空間において、定点P
を通りx軸，y軸，z軸の正部分と交わるすべての平面Sを考える。このような平面Sがx軸，y軸，z軸と交わる点を、それぞれ、A，B，Cとする。このとき、3つの線分OA，OB，OCを辺にもつ直方体の対角線の長さはSとともに変化するが、その最小値を求めよ。
という問題が出題されています。本問と同系統の問題ですが、こちらは難問です。
(1)は本問と同様に解答できます。
･･･①を陰関数の微分法で微分し、
なので、xが増加するとyは減少します。
とおいて、xで微分すると、分子の2つめのカッコは正なので、
とすると、 
･･･②これを①に代入すると、
∴ 
②より、
このとき、
xが増加すると、yは減少するので、
は増加します。
①で、
より、
です。
以上より、次の増減表が得られます。増減表より、
等号が成立するx，yの値は、
，
(2)の平面Sの部分だけ現行高校学習指導要領の範囲外ですが、平面Sの方程式は、Aのx座標，Bのy座標，Cのz座標をp，q，rとして、
となります。定点P
を通るので、 直方体の対角線の長さは、
です。(1)を3文字の場合に拡張した問題になっています。a，b，c，p，q，rがすべて正なので、
，
，
です。
いきなり3変数は大変なので、1文字rを固定し、
を右辺に移項します。 両辺を
で割ると、 
，
とおくと、(1)より、よって、
この右辺は、
，
とおくと、 ∴ 
従って、①と同じ形をしています。(1)より、 ∴ 
ここで、左側の不等号の等号が成立するのは、 のとき。右側の不等号の等号が成立するのは、
のときで、このとき、
，
，
結局、左側の不等号と右側の不等号で同時に等号が成立するのは、 のときです。
対角線の長さの最小値は、
......[答]
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より、
，両辺を
で割って、
，
，