茶女大理数学'09年[3]
aを正の数とし、次のような条件をみたす四面体OABCを考える。
(1) 
とおく。
をaを用いて表せ。 (2) △ABCの面積をaを用いて表せ。
(3) 球
が四面体OABCのすべての面と接しているとする。この球
の半径をaを用いて表せ。 (4) 四面体OABCのすべての頂点が球
の表面上にあるとする。この球
の半径をaを用いて表せ。
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解答 難問というわけではないので、素直に空間的に考えて行きたい空間図形の問題です。
(1) 
......[答]
(2) θ は三角形の内角で
なので、 
......[答]
(3) 球
の中心をPとすると、四面体POAB，四面体POBC，四面体POAC，四面体PABCの高さはいずれも球
の半径
になります。 三角形OABの面積
は、 
より、三角形OBCの面積
は、三角形OACの面積
は、 四面体PABC，四面体POAB，四面体POBC，四面体POACの体積
，
，
，
の和は、四面体OABCの体積Vになります。 ∴ 
∴ 
......[答]
(4) 球
の中心Qは、4頂点O，A，B，Cから等距離の点です。 OA，OB，OCが互いに垂直であることと、Qが、OA，OB，OCの各中点を通り、それぞれ、OA，OB，OCに垂直な3平面の交点になることから、OQは、Oにつながる3辺の長さが
，2，
である直方体の対角線であって、求める半径OQは、 
......[答]
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