茶女大文教数学'09年[1]
正の整数nに対しnの正の約数すべての和を
とおく。ただし、1とnもnの約数とする。以下の問いに答えよ。
(1) 素数p，正の整数aに対し、
とおく。
をpとaで表せ。 (2) 相異なる素数p，q，正の整数a，b，に対し、
，
とおく。このとき、 が成立することを証明せよ。
(3) 正の整数aについて
が素数とする。このとき、
とおくと、 が成立することを証明せよ。
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解答 約数に関するよく知られた事実を示す問題です。なお、整数を参照してください。
です。その和
は、
(2) 
の約数は、 1，p，
，･･･，
，q，
，
，･･･，
，
，
，
，･･･，
， ･･････
です。その和
は、 (証明終)
(3) 
は奇数の素数なので、(2)で、
，
，
，
とすることにより、 
(∵ (1)，また、
は素数)(証明終)
追記．(1)について、
の約数の個数
は、
で与えられることがわかります。
(2)については、自然数nが
と素因数分解されるとき、nの約数の個数
，約数の総和
について、
と一般化できます。
上記を含め、(3)に関する背景については、高木貞治著「初等整数論講義」(共立出版)のp.13〜p.15を参照してください。
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の約数は、1，p，
，･･･，
，
，
，･･･，
