同志社大文系数学'09年[3]
点Oを1つの頂点とする4面体OABCを考える。
，
，
とし、
と
，
と
，
と
がそれぞれ直交するとき、次の問いに答えよ。
(1) k，l，mを実数とする。空間の点Pを
とするとき、内積
をk，l，m，
，
，
を用いて表せ。 (2) 点Oから
に下ろした垂線の足をHとする。
を
，
，
を用いて表せ。 (4) 
の面積を
，
の面積を
，
の面積を
とする。
の面積Sを
，
，
を用いて表せ。
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解答 空間ベクトルの問題で、面倒そうに見えますが、
，
，
という条件があるので、難しくはありません。悩むより先に手を動かせ、という問題です。
三平方の定理を思わせる(4)の結果は、記憶しておくと、センター試験などで役に立つ局面があるかも知れません。
，
，
より、
･･･①
(1) ①を用いて、
......[答]
(2) 
とおくと、
より、 となるので、①を用いて、
･･･②
･･･③②，③より、
･･･④∴ 
④より、 
......[答]
(3) ①を用いて、
の面積Sは、
......[答]
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の面積Sを
，
，
を用いて表せ。
......[答]
の面積
は、
の面積
は、
の面積
は、
上の点であることから、
，
，
の係数の和は