福島県立医大数学'09年[4]
nを2以上の自然数とし、kをn以下の自然数とする。座標平面上の原点Oのまわりにx軸を
回転した直線を
とし、
と放物線
との2つの交点のうち原点以外の点を
とする。また、
以下の自然数kについて、三角形
の面積を
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) 不定積分
を求めよ。 (2) すべての
について、次の不等式が成り立つことを示せ。 (3) 極限値
を求めよ。
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解答 はさみうちするときに、はさむものが区分求積法になる、という、極限の基本問題です。
(1) 
(C：積分定数) ......[答]
①，②を連立すると、
①，②の2交点のうち原点以外の点
のx座標は、 
(
)②より、点
の座標は
， 
(
)∴ 
(3) (2)の不等式を
から
まで辺々加え合わせることにより、 
･･･③ここで
とすると、
より、 
......[答]
追記．上記の区分求積法で、
のとき、
，
としているのを不思議に思う方がいらっしゃるかも知れません。
教科書では、
で連続な関数
のn個の和の極限について、
としています。
ですが、
，
は有限な値なので、
のとき、
，
です。
であれば、
の
個の和の極限について、
です。もっと極端なことを言えば、
を満たす有限な整数mをとるとき、
の
個の和の極限について、
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とx軸のなす角は
で、その傾きは
：
･･･①
･･･②
の座標は
より、
のとき、
，
(
は
において増加関数)
とおくと、
，x：
のとき、θ：
，
，
