岐阜薬科大数学'09年[5]

岐阜薬科大数学'09年[5]

鎖状高分子は、単量体と呼ばれる単位の繰り返しから成っていて、つながった単量体が位置を変えることにより、種々の形をとる。N個の単量体からなる鎖状高分子の形を、次の数学モデルで考察した。

①　鎖状高分子のN個の単量体は平面上の位置

(x，yは整数)をとり、結合している単量体間の距離が1である。

②　1番目の単量体は、位置

にある。

③　連続してつながる3個の単量体は、直線、右回り

，左回り

のいずれかの位置にある。例えば、2番目の単量体が位置

にあるとき、3番目の単量体は、

，

のいずれかの位置にある。

④　いずれの単量体も他の単量体と同じ位置にあることはない。

なお、N個の単量体をもつ2つの鎖状高分子において、各単量体が同じ位置と順序で重なる場合に同じ形とみなす。次の問いに答えよ。

(1) 10個の単量体からなる鎖状高分子で、10番目の単量体が位置

にあるとき、この鎖状高分子は、何通りの形をとりえるか。10番目の単量体が位置

にあるとき、何通りの形をとりえるか。10番目の単量体が位置

にあるとき、何通りの形をとりえるか。

(2) 2番目の単量体が位置

にある5個の単量体からなる鎖状高分子を考える。鎖状高分子の可能な形は、すべて等しい頻度で現れるものとする。1番目の単量体と5番目の単量体の距離をdとするとき、

が2となる確率を求めよ。また、

の平均値(期待値)を求めよ。

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解答　確率の基本は、数え上げです。一つ一つの場合を細かくチェックすることをためらっていると時間だけが空しく過ぎていくことになります。

n番目の単量体の位置を

とします。
n番目の単量体と

番目の単量体の位置関係を

によって考えることができます。
②より、

です。
①，③より、

に限られます。

のとき、n番目から

番目まで右に進むので、「右」と表すことにします。
同様に、

のとき「上」、

のとき「左」、

のとき「下」と表すことにします。
③，④より、鎖状高分子がN個の単量体からなるとき、

，

，･･･，

はすべて相異なります。特に、隣接する単量体の位置が一致することはないので、「右」の次に「左」が来ることはなく、「左」の次に「右」が来ることはなく、「上」の次に「下」が来ることはなく、「下」の次に「上」が来ることはありません。　･･･(＊)
以上の制約のもとに、鎖状高分子の形を、「右」、「左」、「上」、「下」の4文字からなる順列に対応させることができます。例えば、

　の場合、「上右右上右下下左左」という順列が対応します。

(1) 10個の単量体からなる鎖状高分子では、「右」、「左」、「上」、「下」の中から文字を9個選んで順列を作ることになります。

のとき、

から出発して、x座標が5増加し、y座標が4増加するので、「右」を5個、「上」を4個並べて順列を作ります(同じものを含む順列を参照)。
順列、つまり、鎖状高分子は、

通り ......[答]　できます。

のとき、

から出発して、x座標が7増加するのですが、順列中に「左」を1個含むと、残り8個は「右」となり、どこかで「左右」または「右左」の隣接が出てきて(＊)に反してしまうので、順列中に「左」は含まれません。つまり、「右」は7個含まれます。y座標の変化分は0なので、残り2個は「上」と「下」1個ずつになります。
(＊)より「上」と「下」は隣接しないので、7文字の「右」の両端、あるいは、文字間の8カ所のうち2カ所を選んで、「上」、「下」2文字を入れることになります。「上」、「下」の入れ替えも考えて、
鎖状高分子は、

通り ......[答]　できます。

の場合、

から出発して、x座標が5増加するのですが、順列中の「左」の個数は0個、または、1個、または、2個で、以下の3通りが考えられます。

(i) 「左」が0個の場合、「右」は5個、「上」は2個、「下」は2個です。

(ii) 「左」が1個の場合、「右」は6個、「上」は1個、「下」は1個です。

(iii) 「左」が2個の場合、「右」は7個になりますが、どこかで「左右」または「右左」の隣接が出てきて(＊)に反するので、この場合はあり得ません。

(i)では、「上」2個が連続する場合と、連続しない場合、また、「下」2個が連続する場合と、連続しない場合があります。

(a) 「上」2個、「下」2個がともに連続する場合、

のようになりますが、5文字の「右」の両端、あるいは、文字間の6カ所のうち2カ所を選んで、「上上」、「下下」を入れることになります。入れ替えも考えて、

通りあります。

(b) 「上」2個が連続し、「下」2個が1文字ずつになる場合、

のようになりますが、5文字の「右」の両端、あるいは、文字間の6カ所のうち3カ所を選んで、「上上」、「下」、「下」を入れることになります。「上上」、「下」、「下」の入れ替えが3通りあることを考慮して、

通りあります。

(d) 「上」2個も、「下」2個も、連続せず各々1文字ずつになる場合、

のようになりますが、5文字の「右」の両端、あるいは、文字間の6カ所のうち4カ所を選んで、「上」、「上」、「下」、「下」を入れることになります。「上」、「上」、「下」、「下」の入れ替えが

通りあることを考慮して、

通りあります。

(ii)では、

のようになりますが、「右」と「左」は隣接しないので、「右」と「左」の間に「上」または「下」が入り、順列の中に「右上左」あるいは「右下左」という並びができます。「上」は1個なので、「右上左」の次に「下」が来ると「右上左下」となり、元の位置に戻ってしまうので、④に反してしまいます。同様に「右下左」の次に「上」が来ると、④に反します。
従って、この場合、「左」は、順列の左端、または、右端に来ます。
左端に来る場合、「左右」の間に「上」か「下」が入り、「上」が入るのであれば、「左上右右右右右」の「右」の並びの間の4カ所あるいは右端、合わせて5カ所のうち1カ所に「下」を入れることになります。「左下右右右右右」となる場合と、「左」が右端に来る場合も考えて、

通りあります。