京都府立大数学'09年[1]
定数aを実数とし、
とする。関数
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 
とするとき、tの値の範囲を求めよ。 (2) yをtの式で表せ。
(3) 
がつねに成り立つように、aの値の範囲を求めよ。 (4) 方程式
が3個以上の異なる実数解をもつように、aの値の範囲を求めよ。
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解答 三角関数と2次方程式・2次関数の融合問題です。
ここで、αは、
，
を満たす角で、
∴ 
より
，
∴ 
......[答]
(2) 
これとyの式を見比べると、
より、 これより、
......[答]
(3) 
とおきます。軸の位置
が、(1)で求めた
という範囲のどこにあるか、(i) 範囲から左側(
) (ii) 範囲内の左側(
) (iii) 範囲内の右側(
) (iv) 範囲から右側(
) ということで分類して、
の最大最小を考えます(2次関数の最大最小を参照)。 (i) 
のとき、
においてyは単調増加なので、 最小値：
最大値：
となるために、
かつ 
より、これを満たすaはありません。 最小値：
最大値：
となるために、
かつ 
と合わせて、
･･･① (iii) 
のとき、軸
は範囲の右側にあって、
です。 最小値：
最大値：
となるために、
かつ 
と合わせて、
･･･② (iv) 
のとき、
においてyは単調減少なので、 最小値：
最大値：
となるために、
かつ 
より、これを満たすaはありません。 ①，②より、
......[答]
(4) 
，
･･･③ の解は、
を連立したときの解です。④の実数解の個数は多くても2個です。⑤はtの値を固定するとき、実数解の個数は多くても2個です。
従って、③が3個以上の相異なる実数解をもつとき、(1)より④は
の範囲に2個の相異なる実数解をもちます。 ･･･⑥
このとき、④の解tに対して⑤は自動的に1個または2個の実数解をもち、題意を満たします。
として、⑥より(2次方程式の解の配置を参照)、 ④の判別式：
･･･⑦
の軸：
･･･⑧
端：
，
･･･⑨ ⑦より、
，
･･･⑩
⑨より、
･･･⑪
⑩かつ⑧かつ⑪より、
......[答]
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のとき、軸
は範囲の左側にあって、
です。
･･･④，
，
･･･⑤
