九大理系数学'09年後期[5]
を
で定義された連続な関数とし、a，bを正の定数とする。このとき、
が
で
の関係を満たすものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 
とするとき、 が成立することを示せ。
(2) 
が成立することを示せ。 (3) 
はxについて連続な関数で、任意の二つの実数α，β に対して、次の関係を満たすものとする。 さらに、
で定義された二つの連続な関数
と
は次の関係式を満たすものとする。 
，
このとき、
とおけば、 が成立することを示せ。
(4) 
で
であることを証明せよ。
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解答 抽象的な問題というだけでなく、
，
，
，
，
と、いろいろな関数の積分やら微分やらが出てくるので、目移りしてなかなか焦点が定まりにくい問題です。こういう時は、とにかく手を動かして、いろいろ試行錯誤するべきです。
(3)では、定積分に関する性質を利用するのですが、ここでは、自明とせずに、証明を試みます。
，
，
として、
･･･①
より、
，これを用いて、 ①より、
これと
より、
(2) なかなか手がかりのつかめない問題ですが、示すべき不等式：
の右辺と①の右辺を比較してみます。 これが、
において0以上となることが示せれば都合がいいのですが、(1)を見ると、
という形が見えるので、
より、 
･･･③とおいて、
を示すことを目標にします。(1)の結果を用いて、 これより、
は
において単調増加であり、②で
とおくと
となるので、③より(関数の増減を参照)、 よって、①を用いて、
(3) 
として、 
･･･④
(
)よって、
･･･⑤
で定義された連続な関数
について、
･･･⑥となるので、
とすることにより、 これと、④，⑤より、
注．⑥は既知としてもよいのですが、証明しておきます。
において、つねに
であるときには、
･･･⑦
において、つねに
であるときには、
･･･⑧
において、
を満たすtがn個あって、
，
，･･･，
とします。また、
，
とします。
となる整数kについて、
のとき
であれば、
(
)ですが、
のとき
であれば、 従って、
∴ 
以上より⑦，⑧を含めて、⑥が成立します。
(4) (3)の結果を見ると、
において定義された連続な関数
について、①で、
を
とし、
，
とした不等式が成り立つので、(2)の結果で、
を
とし、
，
とした不等式が成り立ちます。よって、
において、 ∴ 
(証明終)
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において、
，
とすると、
，
，
より、
