定積分と微分 関連問題
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![](intgdif.files/Eqn001.gif)
[証明]
だとします。
(定積分を参照)
両辺をxで微分すると、
(証明終)
例.
を満たす2次関数
と実数の定数pを求める。
[解答] 定積分の上端がxになっているので、定積分は定数ではなくxの関数です。
定積分には上端と下端が等しいときに0になるという性質があるので、
を与式に代入して、定積分が0になるようにしてみると、
・・・@
また、上記の定理により、与式両辺をxで微分してみると、
・・・A
2次関数
を
とおくと、![](intgdif.files/Eqn012.gif)
Aに代入して、![](intgdif.files/Eqn013.gif)
整理すると、![](intgdif.files/Eqn014.gif)
これが任意の実数xで成り立つために(恒等式を参照)、
![](intgdif.files/Eqn015.gif)
∴
,
,![](intgdif.files/Eqn018.gif)
よって、![](intgdif.files/Eqn019.gif)
@より、![](intgdif.files/Eqn020.gif)
∴ ![](intgdif.files/Eqn021.gif)
![](intgdif.files/Eqn022.gif)
中カッコ内は正で、![](intgdif.files/Eqn023.gif)
以上より、
,
......[答]
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