恒等式　　　関連問題


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という等式は、とのときに限って成り立つ式です。特定のxの値についてだけ成り立つ式を方程式と言います。
それに対して、という等式は、xにいかなる実数を代入しても成り立ちます。このような等式を恒等式と言います。
もちろん、恒等式によっては、式として意味を持たないxの値(分母を0にするx，根号内を負にするxなど)を除いて考えるものがあります。
(方程式・不等式を参照)

例1．がxについての恒等式 ⇔
[証明]　だとすると、となり、等式：を満たすxの値がただ1つに確定してしまいます。これでは、が恒等式にならないので、です。このとき、
逆に、のとき、任意の実数xについて、です。　(証明終)

例2．がxについての恒等式 ⇔
[証明]　だとします。 ･･･① が、任意の実数xについて成立するから、異なる3個の値、，，をxに代入したときに①が成立します。これは、2次方程式①の相異なる解の数が高々2個であるという事実に反します。よって、
このとき、
例1．により、，よって、
逆に、のときに、

例2．の証明を次のように行うこともできます。「任意の......」という表現があるときに、ある特定の値について成り立つとして、簡単な場合から条件を導き出すという技巧は、受験技巧として、超難問を攻略するときにしばしば使われる重要技巧です。
[例2．の証明]　 ･･･① が任意の実数xに関して成り立つのだから、においても成り立つ。
①において、とすると、 ･･･②
①において、とすると、 ･･･③
①において、とすると、 ･･･④
③を②に代入すると、
∴ ･･･⑤
③，⑤を④に代入すると、
∴
⑤より、
よって、
これだけでは、証明になっていません。なぜなら、xの特別な値、についてしか調べていないからです。としていくと成り立たないかも知れません。
上でやってきたことは、“がxについて恒等式 ⇒ ”，つまり、“”が、“がxについて恒等式”の必要条件であることを示したに過ぎないのです。
従って、“”が、“がxについて恒等式”の十分条件であることも示さないと、“がxについて恒等式 ⇔ ” (矢印記号が、‘⇒'から‘⇔'に変わっていることに注意)を示したことにならないのです。
であれば、であったとしても、①が成り立つことを示すために、以下の1行を証明につけておく必要があります。
であれば、はxについて恒等式。　(証明終)

以上の証明で、なぜ、にしたのか？という疑問を持つ人もいるかも知れません。別に、でなければならないということはありません。であっても構いません。ですが、わざわざ、のとき、などとやると、人生をムダに過ごすことになります(たまには時間つぶしで回り道も気晴らしにいいかも知れませんが、入試会場では不可です)。つまり、にしているのは、連立方程式を素早く解くためです。

例3．がxについての恒等式 ⇔ かつ かつ
[証明]　 がxについての恒等式
⇔ がxについての恒等式
⇔ 　(例2．より)
⇔ かつ かつ 　(証明終)

例4．がxについて恒等式となるようにxの値を定めよ。
[解答]　右辺を通分して分母を揃えた上で、分子が上記の恒等式の条件を満たすようにします。

　
　
　
これがxについて恒等式となるために、分子を比較して、
･･･①， ･･･②， ･･･③
③－①より、 ･･･④
②－④より、
∴
②より、
①より、
，， ......[答]

(1) が、任意の実数x，yについて成立する ⇔
(2) が任意の実数xについて成立する
　⇔
(3) が、任意の実数x，yについて成立する ⇔
(4) が、任意の実数θについて成立する　⇔　
[証明](1) と仮定すると、となりyの1つの値に対してxの値が1つに確定してしまいます。
これでは、任意の実数x，yについてが成立するという条件に反します。
∴ ，
yは0以外の値も取り得るので、，よって、
逆に、のとき、明らかに、任意の実数x，yについて、が成立します。　(証明終)

(2) と仮定すると、 ･･･① が任意の実数xについて成立するから、相異なる個の実数について①が成立します。これは、n次方程式①の相異なる解が高々n個であるという事実に反します。
∴
以下、同様にして、
逆に、のとき、明らかに、任意の実数xについて、が成立します。　(証明終)

(3) をxについて整理すると、
この等式が任意の実数xについて成立するから、
こでが任意の実数yについて成立するから、
逆に、のとき、明らかに、任意の実数x，yについて、が成立します。　(証明終)

(4) ，αは、，を満たす角。
はであるいろいろな値をとるので、　∴
逆に、のとき、　(証明終)


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