札幌医大数学'09年[4]
定数
，
に対し、
で定義された関数
は、条件
を満たす。ただしcは定数とする。
(1) aとbの関係式、およびaとcの関係式を求めよ。
以下
とする。
(2) bとcの値を求めよ。
(3) 定積分
の値を求めよ。
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解答 (1)で、xに依らずに「
が定数」という場合には、xに特定の値を代入して必要条件を求める、という方針が有効です。
置換積分する(3)も頻出技巧です。
･･･①(1) ①において
とすると、 
･･･②①において
とすると、 
･･･③②，③より、
分母を払って、
∴ 
(
) ②より、
∴ 
，
......[答]
(2) 
のとき、
......[答]
(3) 
第2項の定積分について、
と置換すると、
，x：
のとき、t：
追記．(3)の技巧を利用する問題として、以下の積分の問題が頻出です。
∴ 
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より
，従って、
，
のとき、
をみたすxについて、
，
より、
......[答]
......[答]
と置換すると、
，x：
のとき、t：
(
)
