東北大理系数学'09年後期[4]
a，b，c，dを
，
，
，
を満たす実数、
をxについての3次式とする。
を
で割った余りと
を
で割った余りは一致するものとする。その余りを
とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
とおくと、
は
を満たす3次式であることを示せ。 (2) a，b，c，dのうち少なくとも2つは等しいことを示し、それを用いて、
または
が成り立つことを示せ。 (3) 3次式
が条件を満たすとき、
であることを示し、
，
となることを示せ。
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解答
多項式の除算の問題ですが、文字と項の数が多いので面倒です。文字に関する対称性によく注意して式変形するようにしましょう。
(1) 
を
で割るときの商を
とすると、余りが
なので、 
･･･①
･･･②①より、
これより、
②より、
これより、
は、
を2次式で割ったときの余りなので、1次式、もしくは定数です。
は、3次式
から1次式もしくは定数
を引いた式なので、3次式です。
以上より、
は
を満たす3次式です。
(2) a，b，c，dが相異なる4実数だと仮定すると、3次方程式
は高々3個の解しか持ち得ませんが、(1)より、
なので、相異なる4実数解をもつことになってしまいます。ということは、a，b，c，dが相異なる4実数だとした仮定は誤りで、a，b，c，dのうち少なくとも2つは等しくなります(背理法を参照)。 
，
，
，
より、a，b，c，dの中に等しいものがあるとすれば、aとcか、あるいは、bとdです。つまり、
または 
です。
(3) 
を
で割ると、商は
，余りは
になります。つまり、 ∴ 
aをbに入れ替えると、同様に、
よって、
∴ 
･･･①
また、aとc，bとdを入れ替えることにより、 ∴ 
･･･②
①，②のxの係数を比較して、 
･･･③
∴ 
，
より、
∴ 
∴ 
(2)より、
または
であれば、いずれにしても、 
，
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を
で割るときの商を
とすると、余りが
なので、
