筑波大数学'09年[3]
を整式で表される関数とし、
とおく。任意の実数xについて
が成り立つとする。
(1) 
が成り立つことを示せ。 (2) 
は定数または1次式であることを示せ。 (3) 
および
を求めよ。
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解答 連立微分方程式のように見えますが、
は整式、という指定がついているので、現行の高校学習指導要領の範囲内で解決します。なお、本問のような、
を利用する問題では、定積分を0にするようなxの値を代入することにより、隠れた条件が出てくるので注意してください。本問でも、(3)のbの値を決めるところで考えることになります。
･･･①
･･･②(1) ①両辺をxで微分すると、
･･･③②両辺をxで微分すると、
この形のまま微分すると、右辺の微分で
が残って困ることになります。(1)は、①，②より
を消去することが目的なので、③を考慮して、④両辺に
をかけ、 
･･･⑤この両辺をxで微分すると、
(∵ ③)両辺に
をかけて、 ∴ 
(2) 
として
をn次の整式とし、
次以下の整式
と定数aを用いて、 とおけたと仮定します。
，
を(1)の等式に代入すると、
整理して、
･･･⑥
，
は
次以下、
，
は
次以下の整式なので、⑥の
以外の項は
次以下の整式になります。⑥が任意の実数xについて成立するためには、
の係数は0でなければなりません(恒等式を参照)。ですが、
では、
にせよ、
にせよ、
がn次(
)の整式であることに矛盾します。
よって、
であり、
は定数または1次式です。
これらを(1)の等式に代入すると、
∴ 
･･･⑦
①に
を代入すると、
(
を代入するのは、①の定積分の値を0にするため)⑤に
を代入すると、
∴ 
⑦より、
∴ 
......[答]⑤より、 
......[答]
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