定積分と微分(その2)　　　関連問題


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この項目では、定積分と微分を参照してください。

[証明]　だとします。

両辺をxで微分すると、

　
　　(証明終)

例1．　

　
　

tに関する積分を行う際に、被積分関数に、t以外の文字(tとの依存関係がない)を含む場合には、その文字を積分計算を実行するときには定数と見なして計算(なるべき積分の外側に出すようにする)し、その後に微分の計算を行うようにします。


　
のようにします。

例2．　のとき、
被積分関数の中ののxを積分の外に出すために、置換積分します。
とおくと、，
t：のとき、u：
∴
　
　
　
　
　

定積分を含む等式が与えられて関数を求める問題があります。定積分の上端も下端も定数の場合には、定積分自体を定数とおくことにより解決します。

例3．　を満たす関数を求める。
[解答]　　･･･①　とおきます。
　･･･②
これを①に代入します。

　　･･･③

　　(部分積分を参照)

③に代入して、


∴
②に代入すると、 .......[答]

定積分を含む等式が与えられて関数を求める問題で、定積分の上端または下端が変数になっている場合には、下記のようにします。
(i) 定積分の上端と下端が等しくなる(このとき定積分の値は0です)ような、変数の値を、与えられた等式に代入します。何らかの条件式が得られます。
(ii) 定積分が消えるように、定積分の上端または下端に出てくる変数で微分します。多少計算が必要ですが、これで、求める関数の主要部分が求まります。最後に(i)で得られた条件式を使って、関数を確定します。

例4．　を満たす関数を求める。
[解答]　与式で、とする(定積分を0にする)と、　･･･①
両辺をxで微分すると、

　
∴
両辺をxで積分すると、
　(不定積分の公式を参照)
∴
∴
とおくと、
①より、
∴
∴ ......[答]

例5．　を満たす関数が任意の正数x，yについて、等式：を満たすとき、を求める。ただし、はにおいて微分可能とする。
[解答]　いきなり、与えられた等式：　･･･①　を微分することはできません。のときに微分できるかどうか、条件には何も書かれていないからです。
導関数の公式：を利用することを考えます。
①の左辺にがあるので、をと見ることができるように、としてみると、とすればよいことわかります。
そこで、，を満たすようなhをとり、①に代入すると、
∴ 　･･･②
ここで、とするだけでは、②の右辺がどうなるかわかりません。
そこで、において微分可能、という条件を考えることにします。
における微分係数は、という形をしていますが、において微分可能ということは、この極限は極限値をもつ、ということです。
②と比較して、をと見ればよいことがわかります。
を調べるために、①でとしてみると、
∴
よって、②より、

　　(∵ ，が存在)
とおいて、

極限値が存在するので、は任意の正数xにおいて微分可能で、

xで積分すると、
　()
より、
∴ ......[答]


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