東京医科歯科大'09年[2]
正の実数a，b，cを係数とする2次式
に関して、次の条件Cを考える。
条件C：3で割り切れないすべての整数xについて
が整数となる。
このとき以下の各問いに答えよ。
(1) 
が条件Cを満たすとき、
は係数および定数項が整数となる1次式であることを示せ。 (2) 条件Cを満たす
のうち、
となるものを求めよ。 (3) 以下の条件
が条件Cと同値となるような自然数の組
のうち、
が最小となるものを求めよ。 (4) nを自然数とする。条件Cを満たす
のうち、
となるものの個数をnを用いて表せ。
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解答 整数の問題ですが、(3)が答えにくい設問形式になっているなど、新傾向かつ難問です。
問題文を流し読みしただけでは、(2)で、
と条件Cだけでどうして
が求まるのか不思議に感じますが、
，
，
が強力な制約条件になっており、ここから道が開けます。
また、こうした問題では、xに簡単な数、
などを代入して、感じをつかむことが大切です。本問でも、ここから手がかりが得られます。
(1) 
xの係数：
より、
は1次式です。
条件Cより、
，
は整数であり、
は整数なので、 
(dは整数) ･･･①
(eは整数) ･･･②②－①より、
よって、
のxの係数
は整数です。②より、
の定数項
も整数です。
よって、題意は示されました。
，
が整数であるとします。条件Cより、kを整数として、
，
，
，
は整数で、 は整数になるはずですが、
，
が整数であるとき、
，
は整数で、 より、すべての3で割り切れない整数xについて、
は確かに整数です。
(2) 
･･･⑤ また、条件Cが成立すれば、
は整数です。よって、
(pは整数) ･･･⑥
(qは整数) ･･･⑦これを満たす整数qは
のみで、
⑥より、 aについても、
と⑤より、
これを満たす整数pは
のみで、
⑤より、 これより、
となります。このとき、xが整数であれば、
も整数であり、
が整数であれば
も整数、また、
が整数であれば
も整数になります。
，
は整数なので、すべての3で割り切れない整数xについて
は整数となり、条件Cが満たされます。よって、 
......[答]
(3) 条件Cが成立すれば、
が1以外の整数であっても、⑥，⑦より、
，
は整数です。従って、 が言えます。
逆に、
，
，
が整数であるとき、
，
も整数になります。また、
も整数になります。 について、
は整数であり、
の係数と定数項
，
も整数です。従って、xが整数であるとき、
も整数で、
が整数であれば
も整数であり、
が整数であれば
も整数です。よって、
，
が整数であれば、すべての3で割り切れない整数xについて
は整数であり、条件Cが成立し、 が言えます。
これより、条件「
，
，
が整数」は条件
の1つ(
，
，
)です。･･･(＊＊)
(2)より、条件Cを満たす
について、
であって、bは整数でなく
が整数なので、(＊＊)より、
の最小値は2です。
また、この
について、
，
，
はいずれも整数ではなく、(＊＊)より、
，
のとき、
は最小値4となり、さらに
のとき、
が最小になります。
以上より、条件
が条件Cと同値となるような自然数の組
のうち、
が最小となるものは、
，
，
......[答]
(4) (3)より、
であって、
なので、 
(mは整数)
･･･⑦(i) kが奇数のとき、⑦を満たすmは、
mの個数は、
個 (
)(ii) kが偶数のとき、⑦を満たすmは、
mの個数は、
個 (
)上記のk，mの値に対して、
となるようにcを決めれば、
が満たされるので、条件Cを満たす
のうち、
となるものの個数は、 
(等差数列の和の公式を使用)
個 ......[答]
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；
，
，
がいずれも整数となる。
，
は整数であり、
は整数なので、
，
，
と⑤より、
，
，
が整数
，
，
が整数 ⇒ 条件C
，
，
が整数 ⇔ 条件C
，
，
(kは整数)
，
より、
より、
より、