横国大工数学'09年後期[2]
次の問いに答えよ。
(1) 
をみたす正の整数x，yの組をすべて求めよ。 (2) 
をみたす正の整数x，yの組をすべて求めよ。 (3) 
を因数分解せよ。 (4) nを正の整数とする。
をみたす正の整数x，yが存在することを示せ。
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解答 (4)では、(3)の利用の仕方で少々悩むかも知れません。
2009は7の倍数です。なお、整数、因数分解を参照してください。
(1) 
です。 より、
であって、以下の3つの場合に限られます。 (i) 
，
連立して解くと、
，
(ii) 
，
，
(iii) 
，
，
∴ 
......[答]
(2) 
より、
に限られます。 このうち、yが正の整数になるのは、
，
の場合と、
，
の場合のみです。 
......[答]
(3) 
(4) (2)より、
，
として、 
･･･①
をかけて、
･･･②となるので、①に
をかけて、 とできないか、と、考えてみます。
これは、
となるので、 である必要がありますが、41がネックとなって、mを整数にできそうもありません。そこで、(3)をどうにかするのだろう、ということになります。
まず、②によると、
の場合に、
，
とすれば、 になるわけで、
の場合には、
をみたすx，yが存在します。
の場合には、②を2乗して、 
･･･③となりますが、ここで、(3)を使って、
，
，
，
とすると、 とできるので、
とすれば、
･･･④
とできることになります。
の場合にも、
をみたすx，yが存在します。
の場合には、④の、 にさらに、②の
をかけて行くことになります。 この左辺を、(3)を使って、
，
，
，
として変形すると、 とできるので、
の場合にも、
をみたすx，yが存在します。
あとは、この流れを、連立漸化式を用いて、数学的帰納法の枠組みに入れればよいわけです。以下のような答案にまとめられるでしょう。nを正の整数とするとき、
をみたす正の整数
，
が存在することを数学的帰納法により示す。 (Ⅱ) 
のとき、
をみたす正の整数
，
が存在すると仮定する。 つまり、
この両辺に、
をかけると、 より、
とすれば、
(Ⅰ)，(Ⅱ)より、nを正の整数とするとき、
をみたす正の整数
，
が存在する。
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......[答]
のとき、
，
とすれば、
より、成り立つ。
，
，
，
とすると、
，
(
)
のときも、
をみたす正の整数
，
が存在する。