連立漸化式 関連問題
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複数の数列の隣接する項の間に成立する関係式を連立漸化式と言います。
基本形：
･･･①，
･･･②，
，
，
連立漸化式には、いろいろな解法がありますが、基本的には等比数列の形を作ります。
という形の数列を考え、これが等比数列になるように、kの値を決めます。
①＋②×kより、
右辺を
でくくると、
このとき、
であれば、
は公比：
の等比数列になります。
分母を払って整理すると、
･･･③
この2次方程式が異なる2実数解α，β をもてば、
数列
，
は等比数列になります。
は、初項：
，公比：
の等比数列。
よって、
･･･④
は、初項：
，公比：
の等比数列。
よって、
･･･⑤
④×β－⑤×αより、
∴ 
⑤－④より、
∴ 
[注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。手順を覚えること。
係数p，q，r，sの間に何のつながりもないときには上記のようにやりますが、実際の入試問題を見ていると、このタイプの連立漸化式では、ほとんど、
，
の形(2つの式で、
と
の係数が入れ替わっている)をしています。
このとき、2次方程式③は、
となり、
です。数列
，
が等比数列になります。
，
の形をしている場合は、一々2次方程式③を作らずに、「①＋②，①－②を作れば等比数列の形になる」と覚えておいて、いきなり等比数列の一般項④，⑤を作りに行く方がよいでしょう。
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