横国大経済数学'09年[4]
tを0でない実数とし、xy平面上の円
をCとする。次の問いに答えよ。
(1) いかなるtに関してもCが接するような定円がただ1つ存在することを示せ。
(2) (1)の定円とCの接点の座標を求めよ。
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解答 2円の位置関係の問題です。2円が外接するとき、2円の半径の和は中心間距離に一致し、片方の円が他方の円に内接するとき、2円の半径の差は中心間距離に一致します。
(1) C：
(
) ･･･① (i) Cが中心
，半径rの円に外接するとき、中心間距離：
が、2円の半径の和
に等しく、 両辺を2乗すると、
tについて整理すると、
･･･②ここで、
のとき(恒等式を参照)、
つまり、 のとき、②はいかなるtに対しても成立します。
これは、円Cが、いかなるtに対しても、定円
：
･･･③ に外接することを意味します。 (ii) Cの半径
はいくらでも大きくなるので、「いかなるtに関しても円Cが内接する」円はあり得ません。 中心
，半径rの円が円Cに内接するとき、2円の半径の差が中心間距離に等しく、 tについて整理すると、
とすると、
なので、これを満たすrはありません。
つまり、「いかなるtに関しても円Cに内接する」定円はありません。(i)，(ii)より、いかなるtに関してもCが接するような定円がただ1つ存在します。
(2) (1)の定円とCの接点は、両円の中心を結ぶ直線上にあります。
･･･④この直線と円
の交点は、
のとき、③，④を連立して、 ∴ 
接点は、両円の中心の間にあるので、
，または、
より、 このとき、④より、
求める接点の座標は、
......[答]注．接点は、
，
を半径の比
：
に内分する点です。
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を結ぶ直線は、
のとき、
