千葉大数学'10年[1]
直角三角形ABCは、
が直角で、各辺の長さは整数であるとする。辺BCの長さが3以上の素数pであるとき、以下の問いに答えよ。
(1) 辺AB，CAの長さをpを用いて表せ。
(2) 
と
は、いずれも整数にならないことを示せ。
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解答 ピタゴラス数をテーマとした整数問題です。
(1) 辺CAの長さをq，辺ABの長さをrとすると、三平方の定理より、
pが素数で、q，rは整数なので、
(i) 
かつ 
(ii) 
かつ 
(iii) 
かつ 
の3通りに限られます。(ii)は、
となるので不適です。(iii)は、
となるので不適です。(i)より、辺ABの長さは
，辺CAの長さは
......[答]
(2) 
と
とも、背理法で示します。 
(
なのでmは自然数)とおくことができたとします。
･･･①左辺の
は、pが3以上の素数なので、2の倍数ですが4の倍数ではありません。
右辺の
は、pが3以上の素数で奇数なので、
，
はともに偶数です。従って、
は4の倍数です。①では、4の倍数でない数と4の倍数が等しいことになり不合理です。
ということは、
は整数ではありません。 
(
なのでnは自然数)とおくことができたとします。
･･･②左辺の
は素数pの倍数ですが、右辺の
は、
，
はともに素数pの倍数にはなり得ないので、
は素数pの倍数ではありません。②では、pの倍数とpの倍数でない数が等しいことになり不合理です。
ということは、
は整数ではありません。
追記．直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa，b，斜辺の長さをcとして、
･･･③が成立します。③をみたす整数a，b，cの組として、
や、
などが知られています。
ここで、整数a，b，cの組が一般的にどのように表せるかを調べてみます。
まず、cが偶数だとすると、
は4の倍数です。cが奇数だとして、
(
)とおくと、
より、
は4で割ると1余る整数です。
③において、a，bがともに奇数だとすると、
，
ともに4で割ると1余る整数で、
は4で割ると2余る数ということになりますが、
は4で割ると割り切れるか、1余る数です。つまり、③をみたすa，bがともに奇数、ということはあり得ません。a，bがともに偶数のときには、cも偶数になりますが、この場合には、a，bのどちらかが奇数になるまで2で割った形を考えれば、a，bのどちらか一方が偶数で他方が奇数として考えればよくなります。同様に、a，bが1以外の公約数をもつ場合も、公約数で割って考えれば、a，bが互いに素な場合を考えればよくなります。 a，bの偶奇が異なるので、
，
の偶奇も異なり、
は奇数で、cも奇数です。aが奇数でbが偶数だとすると、
，
はともに偶数なので、
，
(m，nは
より、ともに自然数で
)とおくと、 
，
このとき、
m，nの最大公約数をdとして、aもbもdの倍数となるので、a，bが互いに素であれば
，よって、m，nも互いに素です。
が平方数となるためには、m，nも平方数でなければならず、 とおくことができます。こうして、
という表示が得られました。
ただし、p，qがともに奇数であるときには、a，bとも偶数になります。また、p，qが互いに素でなくても、
なので、③がみたされます。以下、p，qが互いに素な場合の例を示します。
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
のときは、
こうして、ピタゴラス数が得られます。
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(p，qは互いに素な自然数で
)
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