千葉大数学'10年[11]
は実数全体で定義された関数とする。実数aに関する条件(P)を考える。
(P) 正の実数rを十分小さく選べば、
をみたすすべての実数xに対して
が成り立つ。 このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 実数aが条件(P)をみたし、かつ、
が
で微分可能ならば、
であることを証明せよ。 (2) 関数
が で定義されているとき、条件(P)をみたすような実数a全体の集合を決定せよ。
(3) 一般に、実数全体で定義された関数
に対し、次の命題は正しいか。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。 (命題) すべての実数aが条件(P)をみたすならば、
は定数関数である。
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解答 本格的な数学の香りが漂う問題ですが、見慣れない問題なので、どうやって答案を書くか悩むかも知れません。なお、証明の技巧を参照してください。
以下で、
⇔
(1) 
において、
です。 です。
ここで、
を、
と
の2つの部分に分けて考えます。 ∴
･･･③ ①，②，③より、
(証明終)
より、
これらより、
のグラフは右図のようになります。これより、以下のようにaの範囲を分けて考えます。(i) 
のとき、
において
は減少関数なので、どんな小さな正数rに対しても、
を満たすxのうち、例えば
について、
となり、条件(P)は成立しません。 
を満たすすべての実数xに対して、
で、条件(P)が成立します。(b) 
のとき、
となるようにrをとれば、
，
より、
を満たすすべての実数xに対して、
で、条件(P)が成立します。 (iii) 
のとき、
なので、
を満たすrをとれば、
，
より、
を満たすすべての実数xに対して、
(右図を参照)で、条件(P)が成立します。 (iv) 
のとき、
において
は減少関数なので、どんな小さな正数r (
)に対しても、
を満たすxのうち、例えば
について、
となるので、条件(P)は成立しません。 (v) 
のとき、
において
は増加関数なので、どんな小さな正数r (
)に対しても、
を満たすxのうち、例えば
について、
となるので、条件(P)は成立しません。 (vi) 
のとき、
において
なので、
となるようにrをとれば、
，
より、
を満たすすべての実数xに対して、
で、条件(P)が成立します。 (vii) 
のとき、
において
は減少関数なので、どんな小さな正数r (
)に対しても、
を満たすxのうち、例えば
について、
となるので、条件(P)は成立しません。 (viii) 
のとき、
において
は増加関数なので、どんな小さな正数rに対しても、
を満たすxのうち、例えば
について、
となるので、条件(P)は成立しません。 以上より、条件(P)を満たすような実数a全体の集合は、
......[答]
(3) 定数関数であれば条件(P)を満たすこと、また、連続かつ増加である範囲、連続かつ減少である範囲をもつ関数では条件(P)が満たされないことは明らかです。
(2)の(iii)の場合でも条件(P)が成立することを考えると、関数に不連続点があって、その不連続点を含む適当な範囲内で、その不連続点において最大となっていて、不連続点以外では定数値をとる関数であれば、条件(P)が成立します。
従って、xが整数値のとき
，xが整数値でないとき
となるような関数
では、定数関数ではないのに、すべての実数aが条件(P)を満たします。
命題は正しくない。反例は、xが整数値のとき
，xが整数値でないとき
となるような関数
......[答] 注．上記の反例で、整数よりも、ほんのちょっとだけ小さい実数a、あるいは、ほんのちょっとだけ大きい実数aのとき、条件(P)は成り立たないのではないか、と、感じる人がいるかも知れません。
ですが、整数をnとして、
となるようなaを、どんなにnの近くとっても、rを
となるようにとれば(
とします)、
なので、
を満たすすべての実数xに対して
となり条件(P)が成立します。
また、
となるようなaを、どんなにnの近くにとっても、rを
となるようにとれば(
とします)、
なので、
を満たすすべての実数xに対して
となり条件(P)が成立します。
ある実数aのどんなに近くにaと異なる実数bをとっても
，または、
を満たす実数cがとれる、という実数の性質を、実数の稠密性と言います。
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が
で微分可能なので、極限値
が存在して、
において、
，
より、
において、
，
より、
のとき
，
のとき
，
のとき、
のとき、
のとき、
において
なので、
のとき、
となるようにrをとれば、
，
より、
･･･②