茶女大理数学'10年[7]
自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。
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解答 階段型関数のグラフにより不等式を証明します。数学的帰納法によっても証明可能です。
右図で、橙色線で囲まれた領域の面積Sは、
Sは、右図で、曲線
とx軸，
，
で囲まれた領域に黄色着色部分を加えた領域(赤色線で囲まれた領域)の面積よりも小さく(
のときのみ、Sは赤色線で囲まれる部分の面積に一致)、曲線
とx軸，y軸，
で囲まれた領域(青色線で囲まれた部分)の面積よりも大きく、
∴ 
別解．数学的帰納法によっても示せます。
より、
よって、与不等式は成り立ちます。(Ⅱ) 
のとき、与不等式が成り立つと仮定します。 各辺に
を加えると、 
･･･①①の左辺について、
∴ 
･･･②
①の右辺について、 ∴ 
･･･③
①，②，③より、 よって、
のときにも与不等式は成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、自然数nに対して、与不等式が成り立ちます。
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のとき、
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