定積分と面積(その2) 関連問題
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この項目は、不定積分の公式、定積分と面積を参照してください。
例1．
，
のグラフが、
の範囲で囲む部分の図形の面積を求める。
[解答] 
として、
∴ 
，
∴ 
面積を求める部分は、右図で黄色に塗られた部分。
，
のグラフは、
に関して対称だから、求める面積Sは、
において、両グラフが囲む部分の面積の2倍に等しい。
......[答]
例2． 2曲線、
，
が
において接するようにa，bを定め、2曲線とx軸，y軸とで囲まれる部分の面積を求める。
[解答] 
，
として、
と
が
において接する ⇔ 
･･･① かつ 
･･･②
，
①より、
②より、
よって、
面積を求める部分は右図で黄色く塗られている部分。求める面積Sは、
とx軸，y軸，
で囲まれる部分の面積から、
とx軸，
で囲まれる部分の面積を引いたものになります。
また、
とおくと、
，
より、
はx軸と
で交わります。
∴ 
......[答]
例3． 楕円：
が囲む部分の面積を求める。
[解答] yについて解くと、
複号の＋は、楕円のx軸から上側の部分、－は、楕円のx軸から下の部分を表します。
曲線の存在範囲(定義域)は、根号内を0以上として、
より、
求める面積Sは、曲線の上側の部分を表す式：
から下側の部分を著す式：
を引いて、
からaまで積分すれば求められます。
∴ 
被積分関数をyとおくと、
両辺を2乗すると、
より、原点を中心とする半径aの円。
よって、積分は、半径aの円の面積の
，即ち、
に等しく(置換積分(その2)を参照)、
......[答]
この結果は、記憶してください。
例4． 媒介変数表示、
，
(
)により与えられる曲線の囲む面積を求める。
[解答] θ が0からπまで動く間に、yは、0から1となり0に戻ります。xは、0から1になり0に戻って
まで行き0に戻ります。グラフは右図のようになります(正確には、微分して増減を調べること。
のとき、
，
，
のとき、
，
，
のとき、
，
)。
求める面積Sは、xをyについて
の範囲で積分したもの(
の部分の面積)の2倍です。つまり、
xがθ の関数で与えられているので、yでは積分ができません。そこで、xをθ で表しておいて、置換積分により、yの積分をθ の積分に直します。
より、
，y：
のとき、θ：
∴ 
とおくと、
，θ：
のとき、t：
∴ 
......[答]
例5． 曲線：
(
，
)，x軸，直線
，直線
で囲まれる部分の面積を求める。
[解答] 
のとき、
∴ 
より、
のとき、
∴ 
より、
をyで微分すると、
において、
(逆関数の微分法を参照)
のとき、
従って、
は、
において単調増加であり、求める面積Sは、yをxで、
の範囲で積分したものになります。
ところが、
について、yをxで表すことができないのです。これでは、積分が計算できません。
右図において、面積を求める部分は黄色で塗られた部分ですが、これは、原点O，
，
，
を4頂点とする長方形から、原点O，
，
，
を4頂点とする長方形を取り除き、さらに、曲線：
とy軸，直線
，直線
で囲まれる図形A (右図において橙色で塗られた部分)を取り除いたものになります。
図形Aの面積なら、xをyで積分することになるので計算できます。図形Aの面積
は、
よって、求める面積Sは、
......[答]
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