階段関数と不等式 関連問題
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1，
，
，･･･，
，･･･ と続く数列を調和数列と言います。調和数列の第n項までの和：
を、一般的にnの式で表すことはできません。
ですが、
が大体どれくらいの数なのかを調べる方法があります。
右図において、黄色で塗られた部分の面積の和は、
となり、調和数列の第n項までの和
になります。
この面積は、曲線：
と直線
，直線
，x軸とで囲まれ部分の面積に1 (右図で
の部分に存在する四角形－本当は正方形ですが－の面積)を加えたものAよりも小さく、曲線：
とy軸，x軸，直線
とで囲まれる部分の面積Bよりも大きいことは、図を見ればわかります。従って、
という不等式をすぐに作ることができます。大学入試の答案としては、右図を書いて上記のように説明すれば充分ですが、ここでは、もう少し丁寧に書いてみます。
として、
を満たすxについて、
が成立します。このとき、
各辺に積分記号をつけても不等号の向きは変わらない(定積分と不等式を参照)ので、
ここで、
です。
について和をとると、
･･･①
においては、
より、
これより、①の左辺と中辺には、1を加え、右辺には
を加えても不等式は成立します。
注．なぜ、こんな面倒なことをするかと言うと、
が計算できないからです。
のとき、
となってしまいます。 これより、
はさみうちの原理より、
であることがわかります。
以上と同様にして、
についても調べることができます。
のとき、
より、
について和をとると、
この不等式の中辺は、
なので、
とできます。よって、
よって、はさみうちの原理より、
これよりnが十分に大きいとき、
(スターリングの公式)
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