群馬大医数学'10年[2]
(1) nを自然数とし、
，
とする。 (ア) 
を満たす自然数mに対し、
を証明せよ。 (イ) 
を満たすnを求めよ。 (2) 実数x，yが連立方程式
，
を満たすとき、
の最小値を求めよ。
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解答 (2)は、x，yのまま考えると失敗します。なお、対数関数、線形計画法を参照してください。
(1)(ア) 
の両辺の対数(底：10)をとると、 ∴ 
(イ) 
の両辺の対数(底：10)をとると、 より、
･･･①∴ 
より、
これを満たす整数nは、
......[答]
(2) 
･･･② 
･･･③が表す領域を図示し、
とおいて、と、杓子定規(しゃくしじょうぎ)にやろうとすると、
のグラフがうまく書けずに失敗します。そこで、 とおきます。底が2の対数を考えて、
⑤を②に代入すると、
∴ 
･･･⑥
⑤を③に代入すると、 ∴ 
･･･⑦
⑥，⑦の境界線
，
を連立すると、
⑥，⑦を図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む)。
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(∵ 
)
，
(
，
) ･･･④
，
⇔ 
，
･･･⑤
の直線を表します。q切片kが最小になるのは、直線
が点
を通るときで、kの最小値は
の最小値は、
......[答]