名工大数学'10年前期[4]
関数
(
)に対して次の問いに答えよ。必要ならば、自然対数の底eの値は
であることを用いてよい。
(1) 関数
の増減を調べよ。 (2) 曲線
上の点P
における法線
の方程式を求めよ。 (3) 点Pからx軸に下ろした垂線をPQとする。(2)で求めた法線
とx軸との交点をRとする。2点Q，Rの距離の最大値を求めよ。
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解答 面倒な微分の計算問題です。
(1) 
の分母が
のままでは、微分計算で不利なので、
と変形するべきです。また、商の微分法より積の微分法のほうがラクなので、
として微分を実行します。
(2) 点P
における接線の傾きは、
点P
における法線
の傾きは、
点P
における法線
の方程式は、 ∴ 
：
......[答]
(3) 点Qの座標は
です。 ∴ 
これがRのx座標です。 
とおくと、
のとき
増減表は以下の通り。より、
従って、
は、
のとき最大値
......[答]
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とすると、
，
，
とx軸との交点は、
の方程式で
として、
とすると、
∴ 
，
，
より、
の増減は以下の通り
