阪大理系数学'10年前期[2]
とする。2つの曲線
の交点のうち、x座標とy座標がともに正であるものをPとする。Pにおける
，
の接線をそれぞれ
，
とし、y軸と
，
の交点をそれぞれQ，Rとする。θ が
の範囲を動くとき、線分QRの長さの最小値を求めよ。
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解答 2次曲線の基本問題ですが、実質的には三角関数の計算問題です。
：
･･･① (楕円を参照)
：
･･･② (双曲線を参照)
･･･③
②に代入して、
∴ 
，
より、
③に代入して、
，
より、
これよりPの座標は、
点Pにおける
の接線は、
：
とすると、
よって、Q
点Pにおける
の接線は、
：
とすると、
よって、R
線分QRの長さは、
と相加平均・相乗平均の関係より、
不等号の等号が成立するのは、
，つまり、
，
，
より、
のとき。
線分QRの長さの最小値は
......[答]
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