九大数学'10年後期[4]
表と裏の出る確率が
ずつの硬貨を投げ、表なら1点、裏なら0点とする。k，nを正の整数として、以下の問いに答えよ。
1．硬貨を繰り返して投げ、得点の合計が3点に達したら終了することにする。ちょうど5回目で終了する確率はいくらか。また、ちょうどn回目で終了する確率を
とするとき、
を証明せよ。 2．硬貨を繰り返して投げ、得点の合計がk点に達したら終了することにする。ちょうどn回目で終了する確率を
とする。kを固定したままnを動かすときの
の最大値を求めよ。
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解答 反復試行の問題です。1回の試行で事象Aの起こる確率がpのとき、n回の試行中k回事象Aが起こる確率が
になる、という、反復試行の公式を使って解答しましょう。
1．ちょうど5回で終了するのは、4回目までに、表が2回、裏が2回出て(確率
)いて、5回目に表が出る(確率
)ときです。その確率は、 
......[答]3回以上投げないと得点が3点にならないので、
です。
のとき、ちょうどn回目で得点の合計が3点になるのは、
回目までに、表が2回、裏が
回出て(確率
)いて、n回目に表が出る(確率
)ときです。その確率
は、 これを使って、
を計算するのはキビしいので、証明すべき式の形から、余事象を考えることにします。
確率が
となるのは、n回目までに終了する、という事象です。この余事象は、n回目までに終了しない、つまり、n回硬貨を投げて、表の出た回数が0回か1回か2回、という事象です。n回硬貨投げを行って、表が0回となる確率は、
，表が1回となる確率は、
，表が2回となる確率は、
よって、余事象の確率は、 よって、n回目までに終了する確率
は、 
(証明終)
2．
のときは、n回硬貨を投げても得点がk点になることはないので、
です。 
のとき、ちょうどn回硬貨を投げて得点がk点となって終了するのは、
回目までに、表が
回、裏が
回出て(確率
)、n回目に表が出る(確率
)ときで、その確率
は、
(ただし、
) ･･･①(i) 
のときは、ちょうどn回硬貨を投げて得点がk点となって終了するのは、1回目から
回目まで裏が出てn回目に表が出る場合で、その確率は、
(ii) 
のとき、①より、 
としてみると、
，
，これより、
のとき、
のとき、
のとき、
∴ 
これより、
は、
のとき、最大値をとります。
(i)，(ii)より、
の最大値は、
のとき
，
のとき
......[答]
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のとき、
は、
のとき最大値
をとります。
