札幌医大数学'10年[4]
整数nに対して、
を次式で定義する。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 
が成り立つことを示せ。 (3) 
(ただし
，
は有理数)と表されることを示せ。また
のときの
を求めよ。必要ならばπが無理数であることを用いてよい。
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解答 (1)，(2)はよくある積分計算問題(三角関数の積分を参照)ですが、(3)が変則的な数学的帰納法になります。
(1) 
より、 
......[答]
(2) 
∴ 
(3) 数学的帰納法により示します。
の場合も考えて示す必要があります。 (Ⅰ) 
のとき、(1)より、
よって、
(有理数)，
(有理数)とすれば、
(ただし
，
は有理数)と表されます。 (Ⅱ) 
のとき、
(ただし
，
は有理数)と表されるとします。 (2)において、
とすることにより、 
(有理数)，
(有理数) ･･･①とすることにより、
のときにも、
(ただし
，
は有理数)と表されます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、nが負の整数のとき、
(ただし
，
は有理数)と表されます。
のときを調べます。 (Ⅰ) 
のとき、
(有理数)，
(有理数)とすれば、
(ただし
，
は有理数)と表されます。(Ⅱ) 
のとき、
(ただし
，
は有理数)と表されるとします。 (2)において、
とすることにより、 
(有理数)，
(有理数)とすることにより、
のときにも、
(ただし
，
は有理数)と表されます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、nが0以上の整数のとき、
(ただし
，
は有理数)と表されます。
①を繰り返し用いることにより、
ゆえ、
のとき、
......[答]
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