三角関数の積分 関連問題
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この項目は、不定積分の公式、置換積分、定積分の漸化式を参照してください。
三角関数のべき乗の積分の方法を整理しておきます。
不定積分で、例示しますが、定積分でも変わりはありません。
例1.
,![](triagintg.files/Eqn002.gif)
半角の公式を使います。
(C:積分定数)
(C:積分定数)
例2.
,![](triagintg.files/Eqn006.gif)
被積分関数の中に、
奇数個の積があるときには、
とおきます(置換積分を参照)。
より、
![](triagintg.files/Eqn010.gif)
![](triagintg.files/Eqn011.gif)
(C:積分定数)
被積分関数の中に、
奇数個の積があるときには、
とおきます。![](triagintg.files/Eqn015.gif)
![](triagintg.files/Eqn016.gif)
![](triagintg.files/Eqn017.gif)
(C:積分定数)
注.3倍角の公式の利用も考えられます。
より、
(C:積分定数)
より、
(C:積分定数)
例3.
,![](triagintg.files/Eqn024.gif)
半角の公式を2回使います。
![](triagintg.files/Eqn025.gif)
より、
![](triagintg.files/Eqn027.gif)
(C:積分定数)
![](triagintg.files/Eqn029.gif)
より、
![](triagintg.files/Eqn031.gif)
(C:積分定数)
例4.
,![](triagintg.files/Eqn034.gif)
被積分関数の中に、
奇数個の積があるときには、
とおきます(置換積分を参照)。
より、
![](triagintg.files/Eqn038.gif)
![](triagintg.files/Eqn039.gif)
![](triagintg.files/Eqn040.gif)
(C:積分定数)
被積分関数の中に、
奇数個の積があるときには、
とおきます。![](triagintg.files/Eqn044.gif)
![](triagintg.files/Eqn045.gif)
![](triagintg.files/Eqn046.gif)
![](triagintg.files/Eqn047.gif)
(C:積分定数)
例5.
(
)
この形の積分が登場するのは、アステロイドの面積や体積を計算する場合なので、
として、漸化式:
を利用するのがよいでしょう。なるべく、漸化式を暗記するのではなく、試験会場で漸化式を導く過程も答案に記して利用したいものです。
,
,
,
,
,・・・
,
,
,
,
,・・・
なお、
とおくと、
,x:
のとき、t:
より、
![](triagintg.files/Eqn067.gif)
です。
例6.
,![](triagintg.files/Eqn069.gif)
一番簡単なのは2倍角の公式を使う方法です。
より、
![](triagintg.files/Eqn071.gif)
(C:積分定数)
この方法は、わかりづらいので、あまりおすすめではありません。下記のようにするのがよいでしょう。
![](triagintg.files/Eqn073.gif)
![](triagintg.files/Eqn074.gif)
![](triagintg.files/Eqn075.gif)
![](triagintg.files/Eqn076.gif)
(C:積分定数)
注.
です。
とおくと(置換積分を参照)、
,
,
より、
(C:積分定数)
とすることもできます。
も、
とすれば、上記と全く同じ考え方で、積分できます(
とすればよい)。
例7.
(公式です! C:積分定数)
![](triagintg.files/Eqn088.gif)
(C:積分定数)
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