東京理科大理'10年[2]
とおく。
(1) 方程式
の正の実数解と負の実数解はそれぞれいくつあるか答えよ。 (2) 方程式
のすべての実数解aに対して が成り立つような、2次以下の整式
と
を求めよ。 (3) aを方程式
の実数解とするとき、
と
もまた方程式
の解であることを示せ。 (4) aを方程式
の最大の実数解とするとき、
と
の符号はそれぞれ正、負のどちらであるか、理由も含めて答えよ。
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解答 3次方程式の問題ですが、(3)では、「恒等式」と「等式」の違いについて注意しましょう。なお、高次方程式を参照してください。
(1) 3次方程式
は3個の解をもっています。xにいろいろな数値を代入すると、 より、方程式
は、
,
,
において1つずつ実数解をもちます。従って、
正の実数解が1個、負の実数解が2個 ......[答]
(2) 3次方程式
の3個の実数解をα,β,γとします。 これがすべての実数xについて成り立つために、
@より、
・・・C
となりますが、2次の整式
を、p,q,rを実数として、
とおくと、Cで
,
,
として、 D−Eより、
3個の解は互いに異なるので
より、
で割って、
・・・GE−Fより、同様にして、
・・・HG−Hより、
より、
,Gより、
,Dより、
∴
......[答]Aより、
・・・I2次の整式
を、l,m,nを実数として、
とおくと、Iで
,
,
として、 J−Kより、
で割って、
・・・MK−Lより、同様にして、
・・・NM−Nより、
で割って、
Mより、
∴
Jより、
∴ 
aを方程式
の解とするとき、 
・・・O得られた
は、Oを用いて、 より、Bを満たしています。
......[答]注意.C,Iより、
,
となることは明らかですが、C,Iのaは「全ての実数」ではなく、
の3解α,β,γのみであって、C,Iはaの恒等式ではなく、恒等式の条件が使えないことに注意してください。
CはD,E,Fを代表して書かれた等式、Iは、J,K,Lを代表して書かれた等式であって、「aに関する恒等式」ではないのです。
上記のように、p,q,rに関する連立方程式D,E,F,また、l,m,nに関する連立方程式J,K,Lを解かなくても、2次関数のグラフは、通過する異なる3点が決まってしまえば、ただ1通りに決まります。
異なる3点
,
,
を通ることから
,
異なる3点
,
,
を通ることから
と断定できます。
(3) (2)より、
また、
ここで、Oを用いて、
これより、
は、 と因数分解できます。よって、
,
もまた、方程式
の解になります。
(4) (1)より、
,
の符号はどちらも負 ......[答]
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