東京理科大理'10年[2]
とおく。
(1) 方程式の正の実数解と負の実数解はそれぞれいくつあるか答えよ。
(2) 方程式のすべての実数解aに対して
が成り立つような、2次以下の整式とを求めよ。
(3) aを方程式の実数解とするとき、ともまた方程式の解であることを示せ。
(4) aを方程式の最大の実数解とするとき、との符号はそれぞれ正、負のどちらであるか、理由も含めて答えよ。


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解答　3次方程式の問題ですが、(3)では、「恒等式」と「等式」の違いについて注意しましょう。なお、高次方程式を参照してください。

(1) 3次方程式は3個の解をもっています。xにいろいろな数値を代入すると、
，，，，
より、方程式は、，，において1つずつ実数解をもちます。従って、
正の実数解が1個、負の実数解が2個 ......[答]

(2) 3次方程式の3個の実数解をα，β，γとします。

これがすべての実数xについて成り立つために、
　･･･①
　･･･②
　･･･③
①より、　･･･④
となりますが、2次の整式を、p，q，rを実数として、とおくと、④で，，として、
　･･･⑤
　･･･⑥
　･･･⑦
⑤－⑥より、
3個の解は互いに異なるのでより、で割って、
　･･･⑧
⑥－⑦より、同様にして、
　･･･⑨
⑧－⑨より、
より、，⑧より、，⑤より、
∴ ......[答]
②より、
　･･･⑩
2次の整式を、l，m，nを実数として、とおくと、⑩で，，として、
　･･･⑪
　･･･⑫
　･･･⑬
⑪－⑫より、
で割って、
　･･･⑭
⑫－⑬より、同様にして、
　･･･⑮
⑭－⑮より、
で割って、
⑭より、
∴
⑪より、
∴
aを方程式の解とするとき、

　･･･⑯
得られたは、⑯を用いて、
より、③を満たしています。
......[答]
注意．④，⑩より、，となることは明らかですが、④，⑩のaは「全ての実数」ではなく、の3解α，β，γのみであって、④，⑩はaの恒等式ではなく、恒等式の条件が使えないことに注意してください。
④は⑤，⑥，⑦を代表して書かれた等式、⑩は、⑪，⑫，⑬を代表して書かれた等式であって、「aに関する恒等式」ではないのです。
上記のように、p，q，rに関する連立方程式⑤，⑥，⑦，また、l，m，nに関する連立方程式⑪，⑫，⑬を解かなくても、2次関数のグラフは、通過する異なる3点が決まってしまえば、ただ1通りに決まります。
異なる3点，，を通ることから，
異なる3点，，を通ることから
と断定できます。

(3) (2)より、
また、

ここで、⑯を用いて、
これより、は、
と因数分解できます。よって、，もまた、方程式の解になります。

(4) (1)より、，の符号はどちらも負 ......[答]


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