高次方程式 関連問題
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をxに関するn次の多項式だとして、
をn次方程式と言う。
3次以上の方程式を特に、高次方程式と呼ぶ。
自然数nに対して、複素数係数のn次方程式が複素数の範囲に少なくとも1つの解を有することがガウスにより証明されています。
この事実を使うと、n次方程式
が複素数
を解に持てば、
なので、因数定理より、
と因数分解できます。
次方程式
も同様に複素数の範囲に少なくとも1つの解
をもつので、
と因数分解できます。
これを繰り返してゆけば、
の形に因数分解されて、n次方程式が複素数の範囲にn個の解、
，
，･･･，
を持つことがわかります。
この事実は、入試では既知として良いでしょう。
n次方程式のn個の解の中には、一致してしまうものが出てくることがあります。
異なるi，j (
，
，
)について、
となる解があれば、これを2重解と言います。
異なるi，j，k (
，
，
，
，
，
)について、
となる解があれば、これを3重解と言います。
実数係数のn次方程式：
(
，
，
，･･･，
，
は実数)が虚数解zを持つとすると、
(
)より(共役複素数を参照)、
つまり、実数係数のn次方程式：
が虚数解zを持てば、
もまた解になります。
以下、iを虚数単位として、2次方程式：
の解は、
2次方程式：
の解は、
2次方程式：
の解は、
3次方程式：
の解は、
，
3次方程式：
の解は、
，
例．a，bは実数だとする。4次方程式：
が、
を解に持つとき、a，bの値を定めて、残りの解を求めよ。
[解答] 実数係数の4次方程式なので、
を解に持てば、
も解になります。
2解の和：4，2解の積：
，解と係数の関係より、
を解に持つ2次方程式は、
･･･① です。
4次方程式の定数項は55で、①の定数項は11なので、
より、4次方程式の左辺は、
･･･②
と因数分解できるはずです。
②の右辺を展開したときの
の項は、
となるはずです。
∴ 
∴ 
より、
，
......[答]
また、
の解は、
求める残りの解は、
，
......[答]
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