横浜国大工数学'10年前期[4]
a，bを正の実数とする。曲線
C：
は領域D：
に含まれている。次の問いに答えよ。
(1) 
が存在する範囲をab平面上に図示せよ。 (2) Cが囲む部分の面積が最大になるときのa，bの値を求めよ。
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解答 東大96年前期[6]と実質的に同じ問題です。丁寧に場合分けして考えて行くことになります。なお、2次関数の最大・最小、関数の増減を参照してください。
(1) 曲線Cは楕円です。曲線C上の点
は、θ を媒介変数として、 と表すことができます。点
が、領域D：
に含まれるとき、 ①の
が曲線C上を動くとき、
は、
となるすべての実数値をとります。
(
)とおくと、②は、 
(
) ･･･③(i) 
のとき(
のグラフは下に凸)、 ③ ⇔ 
かつ 
よって、
これより、
･･･④ (ii) 
のとき、 よって、
∴ 
･･･⑤ (iii) 
のとき(
のグラフは上に凸)、 軸の位置：
(
)が1より左か右かでさらに場合分けします。 より、(a) 
，(b) 
で場合分けします。 (a) 
のとき、つまり、
のとき、 ③ ⇔ 
(i)と同様に、
･･･⑥ (b) 
のとき、つまり、
のとき、 ③ ⇔ 
の最大値：
∴ 
･･･⑦ ④，⑤，⑥，⑦より、
のとき(④，⑤，⑥をまとめて)、
，
のとき、
とすると、 
とすると
，
以上より、
が存在する範囲をab平面上に図示すると、右図黄緑色着色部(a軸上、b軸上を除き、他の境界線を含む)。
これを見ると、求める範囲を、
のとき、
，
のとき、
と言い換えることができます。
(2) 楕円Cが囲む面積Sは、長軸、短軸の長さが
，
(もしくは、
，
)となるので、 
･･･⑧
の範囲でaを固定すると、Sはbが最大値
をとるときに最大値
をとり、ここでaを動かすと、
の範囲でaを固定すると、Sはbが最大値
をとるときに最大値
をとります。
とすると、
とすると、
においては
，
増減表より、
は
のとき最大値
をとり、このとき、
は最大値
をとり、
となります。
，
......[答]別解．⑧のグラフを(1)の図に描き込むと、a軸，b軸を漸近線とする直角双曲線になります。直角双曲線はSを大きくすると右上にずれて行きます。直角双曲線は下に凸なので、 
(
) ･･･⑨と接するときにS最大となります。
⑧と⑨を連立して、
2乗して整理すると、
･･･⑩⑧と⑨が接するとき、⑩が重解をもつので
のグラフの傾きが0，
より
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･･･②
⇔ 
(
)
･･･①