山形大医数学'10年[3]
(1) 
を満たすxの範囲を求めよ。 (3) pを
である定数とする。
，
のとき、
と
の大小を調べよ。
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解答 (3)は簡単に調べる方法はなさそうです。(1)から(2)への展開を応用することにします。なお、微分法の不等式への応用(2)を参照してください。
(1) 
とおきます。 
とおきます。
とすると、
増減表より(関数の増減を参照)、
よって、①より、
(等号は
のみにおいて成立)従って、
は連続であってかつ
において増加関数で、
のとき
，
より、
のとき、
，
より、
また、
以上より、
，つまり、
を満たすxの範囲は、
......[答]
(2) 
のとき、(1)より、
両辺をxで割って、
のとき、(1)より、
両辺をxで割って、よって、
のとき、
(3) (1)，(2)同様のアプローチをして、まず、分母を払って左辺から右辺を引いた形の関数の増減を調べ、そこから不等式を導くことにします。
ここで、中カッコ内を、
とおきます。
とおくと、
に注意して増減表を作ると、増減表より、
，よって、
において、
(等号は
でのみ成立)
は連続であってかつ
において減少関数で、
です。
なので、
のとき、
，
に注意して、
のとき
で、
，
で割って、
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のとき、
と
の大小を調べよ。
のとき
で、
，
で割って、
，
のとき、
......[答]