微分法の不等式への応用(2)　　　関連問題


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(1) 増減を利用した不等式の証明(微分法の不等式への応用を参照してください)
例1． に対し、において、
[証明]　数学的帰納法で証明します。
・のとき、として、
()より、は単調増加で、において、
∴
よって、のとき与不等式が成り立ちます。　･･･(Ⅰ)
・のとき与不等式が成り立つと仮定します。
つまり、において、 が成り立つと仮定します。
のとき、 を微分すると、

ここで、と番号を付け替えると、
()より、は単調増加で、において、
∴
よって、のときも与不等式は成り立ちます。　･･･(Ⅱ)
(Ⅰ)，(Ⅱ)より、 に対し、において、　(証明終)
証明した不等式の右辺は、のマクローリン展開のn次以下の次数の項です。
また、不等式でとすると、

となりますが、右辺の最初の10項の和は、で、eの真の値にかなり近い値です。

例2．
はではなく、1[rad]の正弦の値です。
[証明]　のマクローリン展開： を知っていれば、各項の符号を考えて、
という不等式が成り立ちそうです。まず、この不等式を証明します。
とおくと、



よって、は単調増加です。において、
よって、において、は単調増加であって、
よって、において、は単調増加であって、
∴ 　･･･①
とおくと、

()
よって、において、は単調増加であって、
よって、において、は単調増加であって、
よって、　･･･②
①，②より、
ここで、とすると、
∴ 　(証明終)

(2) 凹凸を利用する不等式の証明
例えば、においてであって、この範囲でが下に凸だとします。
このとき、となるについて、

が成り立ちます。
のとき、

∴
入試の答案としては、わざわざ凹凸の定義に依らなくても、
として、のグラフが下に凸な範囲において、グラフ上の2点，を結ぶ線分はグラフの上側を通るから、線分上の点は、の上側にあり、におけるグラフ上の点と線分上の点のy座標について、
と説明をつけておけばよいでしょう。

例3.．，のとき、　(京大理系'91前期[4])
[証明]　右側の不等号の方が易しいので、こちらから証明します。上記の説明で、としただけのものです。
として、， ()
よって、のグラフは下に凸で、だとして、グラフ上の2点，を結ぶ線分はのグラフの上側を通るから、線分上の点は、の上側にあり、におけるグラフ上の点と線分上の点のy座標について、　･･･①
∴ 　･･･②
の場合も同様で、なら明らかに、　･･･③
②，③より、　･･･④
左側の不等号についても凹凸から証明できないか、と、考えます。根号は乗なので、このを使って、をの形とするために、左側不等号両辺の対数を考えます。

従って、とすればよいことがわかります。
は、において定義できないので、の範囲で考えます。
，のいずれであっても、あるいはであっても、　･･･⑤ は成立します。

()
よって、はにおいて上に凸です。①と同様に考えて、のとき今度は、となります。
∴
∴ 　･･･⑥
の場合も同様で、なら明らかに、　･･･⑦
⑤，⑥，⑦より、　･･･⑧
④，⑧より、，のとき、　(証明終)

微分法の不等式への応用(2)その2へ続く


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