関数の凹凸 関連問題
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ある区間で定義された関数
が、その区間内で
を満たす任意の
，
，
に対して、
を満たすとき、
は下に凸であると言う。
を満たすとき、
は上に凸であると言う。
開区間
において2回微分可能な関数
が、この区間において、
(i) 
ならば、
は下に凸
(ii) 
ならば、
は上に凸
[証明] 
は、閉区間
において連続、開区間
において微分可能なので平均値の定理の要件を満たします。平均値の定理より、
，
を満たす
が存在します。
また、
は、閉区間
において連続、開区間
において微分可能なので平均値の定理の要件を満たします。平均値の定理より、
，
を満たす
が存在します。
(i) 
なら
は増加関数なので、
より、
です。
∴ 
よって、
は下に凸です。
(ii) 
なら
は減少関数なので、
より、
です。
∴ 
よって、
は上に凸です。
(証明終)
上に凸、下に凸をまとめて凹凸と言います。
上記の凹凸の定義に出てくる不等式の両辺は、
から
までの平均変化率と、
から
までの平均変化率です。
平均変化率がだんだん増加するときに下に凸で、だんだん減少するときに下に凸です。
上記の証明の途中で、
(i)の
の場合には、
が増加すると書きましたが、これは、接線の傾きが増加する(接線が右下がりから右上がりになる)ときに下に凸になると言うことです。
(ii)の
の場合には、
が減少し、接線の傾きが減少する(接線が右上がりから右下がりになる)ときに上に凸になります。
曲線上で、凹凸が変化する点、つまり、下に凸から上に凸に切り替わる点、あるいは、上に凸から下に凸に切り替わる点を、変曲点と言います。
変曲点の前後で
の符号が＋から−へ、あるいは、−から＋へ切り替わります。
例．
の増減と凹凸を調べる。
[解答] 
とすると、
とすると、
，
，
変曲点は、
です。
増減表は以下の通り
は、
，
で、上に凸で増加することを表します。
は、
，
で、上に凸で減少することを表します。
は、
，
で、下に凸で減少することを表します。
は、
，
で、上に凸で増加することを表します。
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