接線と微分係数 関連問題
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微分係数・導関数の詳細については、微分・導関数を参照。
関数
のグラフ上の2点
,
を結ぶ直線の傾き
を平均変化率と言います。
ここで、bを限りなくaに近づけると、2点を結ぶ直線は、
における接線に限りなく近づき、直線の傾き
は、限りなく
における接線の傾きに近づいていきます。
bを限りなくaに近づけるとき、平均変化率
が限りなく近づく値を微分係数と言い、
と書きます。即ち、
微分係数
は、
における接線の傾きを表します。
従って、関数
のグラフの
における接線は、点
を通り、傾き
の直線だとして(直線の方程式を参照)、
における
の接線:
と表すことができます。
例1.
の
における接線を求める。
,
のとき、
,
より、![](tangent.files/Eqn026.gif)
∴ 接線:![](tangent.files/Eqn027.gif)
例2.
の
における接線を求める。
![](tangent.files/Eqn030.gif)
のとき、
,
より、![](tangent.files/Eqn034.gif)
∴ 接線:![](tangent.files/Eqn035.gif)
例3.曲線:
に、点
から引いた接線を求める。
![](tangent.files/Eqn038.gif)
接点のx座標をtとして、
のとき、
,
より、
における接線は、![](tangent.files/Eqn043.gif)
整理して、
・・・@
接線は点
を通るから、@において、
,
とすると、![](tangent.files/Eqn048.gif)
∴ ![](tangent.files/Eqn049.gif)
∴ ![](tangent.files/Eqn050.gif)
@において、
として、![](tangent.files/Eqn052.gif)
@において、
として、![](tangent.files/Eqn054.gif)
求める接線は、
,
......[答]
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