広島大理系数学'11年後期[4]
以下の問いに答えよ。
(1) 自然数a，bを11で割った余りを、それぞれr，sとする。
を11で割った余りと
を11で割った余りは等しく、またabを11で割った余りとrsを11で割った余りは等しいことを示せ。 (2) a，bを自然数とする。
が11の倍数ならば、aもbも11の倍数であることを示せ。 (3) 袋に1から10までの自然数を書いた玉が1個ずつ、合計10個入っている。この袋から3つの玉を同時に取り出し、書いてある数をa，b，cとする。
が11で割り切れる確率を求めよ。
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解答 確率の問題になっていますが、実質的に剰余の問題です。なお、整数を参照してください。
(1) a，bを11で割った商をp，qとすると、余りがr，sなので、
よって、
を11で割った余りと
を11で割った余りは等しくなります。 よって、abを11で割った余りとrsを11で割った余りは等しくなります。
(2) (1)より、
を11で割った余りと
を11で割った余りは等しくなります。
を11で割った余りと
を11で割った余りは等しくなります。
を11で割った余りは
を11で割った余りに等しくなります。 r，sは11で割ったときの余りなので、
，
を満たします。
そこで、
が11で割り切れないとき、つまりrが11で割り切れず
であるとき、r = 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10について、
を11で割った余りを調べると、1，4，9，5，3，3，5，9，4，1となっていて、余りは1，3，4，5，9に限られています。この中から2つを選んで和を求めると、
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
(11で割った余りは2)，
，
(11で割った余りは3)，
(11で割った余りは7)となり、いずれも11で割り切れません。従って、
，
が11で割り切れない、つまり、
，
が11で割り切れないとき、
，即ち、
が11で割り切れるようになる場合はありません。
ということは(対偶を参照)、
が11の倍数ならば、aもbも11の倍数であることを意味しています。
(3) 全事象は、10個の玉から3個を選ぶ選び方で、
通り。 (2)で見たように、a，b，cを1から10までの自然数とするとき、
，
，
を11で割った余りは、1，3，4，5，9のどれかに限られていて、また、1，3，4，5，9の余りのどれについても、対応する自然数の書かれた玉が2個ずつ存在します。1，3，4，5，9の中から、異なる3数を選んで和を求めると、
，
，
，
，
，
となって、
が11で割り切れる場合はありません。1を重複させて3数を選んで和を求めると、
，
，
，
3を重複させて3数を選んで和を求めると、
，
，
，
4を重複させて3数を選んで和を求めると、
，
，
，
5を重複させて3数を選んで和を求めると、
，
，
，
9を重複させて3数を選んで和を求めると、
，
，
，
以上の中で、11で割った余りが0になるのは、
，
，
，
，
を選ぶ場合で、
余りが
となるのは、3つの自然数a，b，cの組み合わせが、
，
のときです。
余りが
となるのは、3つの自然数a，b，cの組み合わせが、
，
のときです。
余りが
となるのは、3つの自然数a，b，cの組み合わせが、
，
のときです。
余りが
となるのは、3つの自然数a，b，cの組み合わせが、
，
のときです。
余りが
となるのは、3つの自然数a，b，cの組み合わせが、
，
のときです。
よって、
が11で割り切れる場合が10通りあり、求める確率は、
......[答]
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