名大数学'11年[4]
a，bは
を満たす整数とし、xとyの2次方程式
，
(1) 
とするとき、条件を満たす整数aをすべて求めよ。 (2) 
とするとき、条件を満たす整数の組
をすべて求めよ。
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解答 以下では、素朴に考えてみます。遠回りですが、これでも試験会場では充分に実戦的です。ある整数Aが平方数になるかどうか調べるとき、近い値をとる平方数
を探してきて、
という形の不等式を作ることができれば、Aは平方数ではない、と、断定できます。(2)はこれを使って解答します。
･･･①となります。yの2次方程式
も同形の方程式です。この解は、 これが整数となるために、少なくとも、根号内
は0または平方数である必要があります。 (i) 
とすると、
より、
このとき、
で確かに①は整数解をもちます。 (ii) pを自然数として、
とおけたとします。これをaについて解くと、
aは整数なので、
(
)は平方数です。qを自然数として、 とおけます。
これより、
，
はいずれも4の約数です。
，
なので、
，
に限られますが、
，
となり、p，qは自然数ではありません。従って、この場合に、
が平方数となることはありません。 以上より、
......[答]
(2) xの2次方程式
･･･②の解は、
･･･③yの2次方程式
･･･④の解は、
･･･⑤②，④が整数解をもつために、③，⑤の根号内
，
は0または平方数である必要があります。 (i) 
とすると、
，
より、 よって、
に限られますが、
が整数になるのは、
，
のときで、このとき、
よって、この場合には、条件に適するa，bの組はありません。 (ii) 
とすると、
，
より、 また、
は整数なので、bは偶数でkを自然数として
とおくと、
より、
，また、
(i)の場合が不適だったので、
(
)は平方数ですが、 となり、
は平方数になり得ません。
問題は、
のときと
のときですが、 はともに平方数ではありません。
よって、(ii)の場合にも、条件に適するa，bの組はありません。
(iii) 
，
がともに平方数となる場合、
より、kを自然数として、
とおくと、 
の次に大きな平方数は
です。これが0に等しいとき、
となりますが、kは整数なので、 となることはありません。次に大きな平方数は
ですが、 よって、
かつ 
従って、
は、
のときにのみ、平方数
になります。このとき、 
としてみると、となり、
のとき平方数1になることがわかります。 
では、
となり、
が平方数になることはありません。
のときは、
のときのみ
が平方数1となり、このとき、
です。
，
のとき、2次方程式②は、より、整数解
をもちます。2次方程式④は、 より、整数解
，
をもちます。 以上より、
，
......[答]
別解．最初から方程式の解がどのようになるか調べておけば、以下のようにして、簡単に解くことができます。
，
とおくと、両2次方程式は、
，
となります。 より、両2次方程式が整数解をもてば、ともに負の整数解です。
(1) 
のとき、両2次方程式はともに、 となります。
より
は解にならないので、 aは整数なので、
が1の約数であることと
であることから、
より、整数解は
に限られます。よって、
......[答] (2) 
，
の解が負の整数であることから、⑥より、 
，
つまり、
，
は、整数解
をもちます。 
より
は解にならないので、bは整数なので、
が2の約数であることと
であることから、
に限られます。いずれにしても、
，
......[答]
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，
∴ 
，
∴ 
です。
の次に小さな平方数は
です。
より、
であれば、
，すなわち、
のとき、
のとき、
の次に小さな平方数
と
とを比べてみます。
，
，
の軸位置；
，
の軸位置：
･･･⑥
より、
∴ 
は、