大分大医数学'11年[1]
実数
，
，
に対して次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数である。
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解答 コーシー・シュワルツの不等式を一般的な場合で証明する問題です。試験会場で安全確実に答案を書くなら以下のように数学的帰納法で証明するのでしょうが、もっとラクに証明する方法があります。
(Ⅰ) 
のとき、
かつ 
の場合には、
かつ 
の場合には、
かつ 
の場合、または、
かつ
の場合には、
よってすべての場合において、
与式は成立します。(Ⅱ) 
のとき、
が成立すると仮定します。 両辺を2乗した不等式の両辺に、
を加えると、 よって、
よって、
のときにも、与不等式は成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、
が成立します。
追記．コーシー・シュワルツの不等式を利用する問題は、例えば、東工大'08年前期[3]のような問題があります。この解答でも書きましたが、本問では以下のような解答が可能です。 が成立します。
(
)であれば、等号は、
となるときに成立します。
左辺を変形して、 これより、t の2次方程式：
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、
より、
積分形式のコーシー･シュワルツの不等式：でも、同様の証明が可能です。任意の関数
，
について、 となりますが、左辺を変形して、
これより、t の2次方程式：
は、重解をもつか、虚数解をもち、判別式Dについて、
∴ 
本問で
の場合には、式変形だけで証明できます。 右辺から左辺を引いて、
∴ 
以下の
の場合には、内積を使って簡単に証明することができます。
福岡教育大'11年[1]
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a，b，c，x，y，zを実数とする。 (ア) 
(イ) 
のとき、
の最小値を求めよ。 
より、
，
(
)について、
(等号成立は、
のとき)
，
として、
より、
のとき、つまり、tを実数として
のときに成立します。
として、
(等号は、
のときに成立)
の最小値は
......[答]
が成り立つような実数kの最小値を求めよ。
の場合のコーシー・シュワルツの不等式において、
，
，
，
として、
，つまり、
のときに成立します。
......[答]