阪大理系数学'11年前期[4]
a，b，cを正の定数とし、xの関数を考える。以下、定数はすべて実数とする。
(1) 定数p，qに対し、次をみたす定数rが存在することを示せ。
ならば
(2) 恒等式を用いて、次をみたす定数k，lが存在することを示せ。
ならば
(3) すべての自然数nに対して、が自然数であるとする。このとき関数は、自然数の定数mを用いてと表されることを示せ。


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解答　入試問題としてはあまり見かけないタイプの問題です。「定数が存在することを示せ」という問題に対しては、定数を求める手順を説明すれば、存在することを示したことになります。なお、整数、条件と命題を参照してください。

(1) 三角不等式：において、αをpx，β をqとすると、においては、
ここで、をみたすような定数rをとると、において、
とできます。よって、ならば、をみたす定数rが存在します。

(2) 題意をみたすkが存在するとして、，とすると、
ですが、ここで、kが正の定数であれば、において、
なので、
，　･･･①
また、

ここで、正の定数kがであれば、
(1)の結果において、，とすれば、
　･･･②
を満たすような定数rをとれば、において、
　･･･③
①，③より、
即ち、とし、②をみたすような定数rをとり、となるように定数k，lをとれば、において、
とすることができます。よって、題意をみたす定数k，lが存在します。

(3) (2)の結果において、 (nは任意の自然数)とすると、
⇔ 　･･･④
ここで、a，b，cが正であることから、
つまり、なので、は自然数です。nを十分に大きくとれば、④の範囲：に入る自然数xをただ1個にできます。この自然数をmとすると、
　(このとき、、つまり、に限られます)
このとき、
，
となり、
と表されます。


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