阪大理系数学'11年前期[4]
a，b，cを正の定数とし、xの関数
を考える。以下、定数はすべて実数とする。
(1) 定数p，qに対し、次をみたす定数rが存在することを示せ。
ならば 
(2) 恒等式
を用いて、次をみたす定数k，lが存在することを示せ。 
ならば 
(3) すべての自然数nに対して、
が自然数であるとする。このとき関数
は、自然数の定数mを用いて
と表されることを示せ。
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解答 入試問題としてはあまり見かけないタイプの問題です。「定数が存在することを示せ」という問題に対しては、定数を求める手順を説明すれば、存在することを示したことになります。なお、整数、条件と命題を参照してください。
(1) 三角不等式：
において、αをpx，β をqとすると、
においては、 ここで、
をみたすような定数rをとると、
において、 とできます。よって、
ならば、
をみたす定数rが存在します。
(2) 題意をみたすkが存在するとして、
，
とすると、 ですが、ここで、kが正の定数であれば、
において、 
なので、
，
･･･①また、
ここで、正の定数kが
であれば、 (1)の結果において、
，
とすれば、 
･･･②を満たすような定数rをとれば、
において、 
･･･③①，③より、
即ち、
とし、②をみたすような定数rをとり、
となるように定数k，lをとれば、
において、 とすることができます。よって、題意をみたす定数k，lが存在します。
(3) (2)の結果において、
(nは任意の自然数)とすると、 
⇔ 
･･･④ここで、a，b，cが正であることから、
つまり、
なので、
は自然数です。nを十分に大きくとれば、④の範囲：
に入る自然数xをただ1個にできます。この自然数をmとすると、 このとき、
，
となり、
と表されます。
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(このとき、
、つまり、
に限られます)