九大数学'11年前期[3]
数列
，
，･･･，
，･･･ は
， 
(1) 
とするとき、一般項
を求めよ。 (2) 
の値を求めよ。 (3) 
とするとき、 
， 
をみたす最小の自然数kを求めよ。
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解答 与えられた漸化式の意味するところに気づければ容易です。
(1) まず、与えられた漸化式で、
として感触をつかみます。 以後、
と
の繰り返しになります。偶数番目の項が
，奇数番目の項が
です。
のとき、
，但し、
......[答]問題文に「一般項」とあるので、統一的に一つの式で記述したければ、
のときに1，
のときに
となるようなものを探します。例えば、
です。これを使えば、 
(
)と記述できます。実は、(2)以下から、
となることがわかります。
より、
より、
......[答]
(1)，(2)の結果より、
とすると、
，
，
，
，･･･ となって、
では、
と
が繰り返し、数列
が周期を持つことがわかります。
(3) (2)をヒントとして、
とすると、 となり、
となっていることがわかります。
のときには、 
のとき、
と5は互いに素なので、mは
の倍数で、jを整数として、
とおけます。
としていくと、
のときに、
，
となり、
となります。よって、
，
を満たす最小の自然数kは、
......[答]
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