島根大医数学'11年[1]
mを自然数とする。
が
で割り切れる自然数nの最大値を
とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) 
を求めよ。 (2) 
をmの式で表せ。 (3) 
が素数ならば、mも素数であることを証明せよ。
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解答 類題が東工大'07前期[1]，東工大'91年前期[1]にあります。なお、整数を参照してください。
(1) 
のとき、
1から32までの整数の中に2の倍数は16個あります。
この16個のうち、
の倍数が8個(4，8，12，16，20，24，28，32)あります。
この8個のうち、
の倍数が4個(8，16，24，32)あります。
この4個のうち、
の倍数が2個(16，32)あります。
この2個のうち、
の倍数が1個(32)あります。
を素因数分解すると、2の個数は、
∴ 
......[答]
(2) 
1から
までの整数の中に2の倍数は
個あります。
この
個のうち、
の倍数は
個あります。
同様に、1から
までの整数の中に
(
)の倍数は、
個あります。(1)と同様に考えて、
を素因数分解すると、2の個数は、 
......[答]
(3) 元の命題の対偶「mが素数でなければ
は素数でない」を証明します。 mが素数でなければ、2以上の整数a，bで、
となるものが存在します。
このとき、(2)の結果を用いて、 ここで、
より、
は素数ではありません。(証明終)
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